Eulerin identiteetti

Tunnilla nousi esille oppilaiden toimesta merkillinen tulos, joka todettiin laskimellakin todeksi:
.

Totesin, että tuohan on osa maailman kauneimmaksi sanottua yhtälöä
,
joka sitoo ihmeellisellä tavalla toisiinsa matematiikan eri osista esille nousseet luonnonvakiot e, i ja &pi . Tietysti tiedonhaluiset oppilaat halusivat asialle myös todistuksen, jonka lupasin etsiä ja tässä sitä nyt tulee vaiheittain.

Lähdetään liikkeelle Taylorin sarjoista. Funktion f(x) voi esittää sarjana (päättymättömänä summana) seuraavasti:


Näin valitsemalla f(x)= sinx ja a = 0, saadaan


ja aivan vastaavalla tavalla


ja vielä samaa tapaa käyttäen


Kun nyt viimeisimpään kaavaan sijoitetaan x = iz, jossa i on imaginaariyksikkö, jolla on ovimassa mm.


saadaan




Kun tätä viimeistä riviä verrataan sinx:n ja cosx:n Taylorin sarjakehitelmiin, saadaan lopulta tulos


Tämä tulos tunnetaan Eulerin lauseen nimellä.

Sijoittamalla nyt tähän luvun z paikalle &pi , saadaan


ja kun cos &pi = -1 ja sin &pi = 0, on näytetty, että
,
josta lopulta


m.o.t. :)

Matemaatikot

Matemaatikot ovat kuin ranskalaisia: sanotpa heille mitä tahansa, he kääntävät sen omalle kielelleen ja kohta se merkitseekin aivan jotakin muuta!
-Goethe

Kengurukilpailu tulee taas!

Matematiikan Kengurukilpailu peruskouluille ja lukioille tulee taas! Virallinen kilpailupäivä on maaliskuun 3. torstai eli 18.3.2010 (tai jos tämä päivä ei sovi, kilpailun voi pitää kuukauden kuluessa varsinaisesta kilpailupäivästä).

Kilpailuun voi ilmoittautua osoitteessa http://www.zef.fi/kengurukilpailu2010/ilmoittautuminen . Lisätietoa kilpailusta löytyy osoitteesta http://www.mayk.fi/kenguru .

Uusi vuosi ja vuosiluku

Nyt kun vuosi on taas vaihtunut, pääsemme kikkailemaan uuden vuoden numeroilla. Koulussamme olemme vuosittain järjestäneet ns. vuosilukukilpailun, jossa vuoden numeroista, kutakin vain kerran esiintymisjärjestyksessään käyttäen, on saatava mahdollisimman pitkä katkeamaton ketju lukuja 0, 1, 2,.... Esimerkiksi viime vuoden alku voisi olla


Luvallisia laskutoimituksia ovat olleet peruslaskutoimitusten lisäksi potenssiinkorottaminen neliöjuuren ottaminen ja kertoma. Nyt myös lukujen 20, 201 ja 10 käyttäminen ovat mahdollisia. Sitten vaan sarjaa laatimaan!

Uusia ideoita vuosilukuihin liittyen voisi kehitellä vaikkapa Michael Croucherin Walking Randomly -blogissa esittämästä upeasta kaavasta

2010 = 1+2-(3-4-5)*6*7*8-9

ja mitä kaikkea vuosiluvusta onkaan saatu irti blogissa 360: http://threesixty360.wordpress.com/

Vielä piin likiarvosta

Elokuussa kirjoitin http://miekka.blogspot.com/2009/08/piille-entista-tarkempi-likiarvo_20.html , että piille on laskettu uusi, aikaisempaa tarkempi likiarvo, jossa on nyt noin 2500 miljardia numeroa. Uusimmassa Tiede -lehdessä (1 / 2010) Kalevi Kantele on hienosti havainnolistanut merkinnän pituutta:

"Kirjan keskikoko on 250 sivua ja sivulla keskimäärin 240 sanaa. Suomessa sanan keskipituus on 7,5 kirjainta, joten kirjassa on 450 000 kirjainta. Jos joku päättäisi painaa likiarvon, kirjoja tulisi 5 726 623. Kun hyllymetriin mahtuu 40 kirjaa, likiarvon kirjat tarvitsisivat hyllyä 143,166 kilometriä."