Mainos

Nyt en malta olla mainostamatta hyvää ohjelmaa, hyvää kuunneltavaa: "Matematiikan aika", YLE:n Areenassa. Viimeisimmät lähetykset ovat olleet mielenkiintoista kuunneltavaa aivan tavalliselliselle lukiolaisellekin kuin myös opettajalle. Suosittelen.

Noihin lähetyksiin on suoraan linkit tämän blogin oikeassa palstassa. Kuuntele ja nauti!

YO-kokeista

Uusimmassa Matemaattis-luonnontieteellisen aikakauslehden Dimension numerossa (nro 6/2008) Ylioppilastutkintolautakunnan edellinen puheenjohtaja, professori Aatos Lahtinen kirjoittaa tuttuun tapaansa, erinomaisena sanankäyttäjänä ja kulttuurihistorian tuntijana, laajasti matemaattisesta todistamisesta ja yleensä tehtävien ratkaisemisesta ylioppilastutkinnossa. Mielenkiintoista ja värikästä luettavaa.

Tässä haluaisin tuoda esille kuitenkin, lähinnä opiskelijoille, osan hänen kirjoittamastaan:
"Pitkän matematiikan koetta on hieman uudistettu. Kaksi tai kolme ensimmäistä tehtävää koostuu nykyään toisistaan riippumattomista yksinkertaisista osatehtävistä, joilla mitataan perusasioiden osaamista. Niistä edes puolet harjoitustehtävistä tehneen pitäisi vaivatta kerätä 18 pistettä. --- Tuleville abiturienteille voisi vihjaista, että lautakunnalla on aikomus jatkaa tällaista perusasioiden mittaamista alkutehtävissä."

Siis mekaanisilla perustehtävillä (lausekkeiden sievennys, yksinkertaiset yhtälöt, integrointi- ja derivointikaavat, ...) hyvin harjoitellen takuuvarmasti läpi ja hyvä peruspanos korkeampiin pistemääriin!

http://www.maol.fi/index.php?id=19

Ratkaisu lukuteorian tehtävään

Tehtävä on edellisessä blogikirjoituksessani http://miekka.blogspot.com/2008/11/tehtv.html

Olkoon a ja b positiivisia kokonaislukuja ja p alkuluku.

Tällöin siis on oltava

Muokkaamalla yhtälön vasenta puolta saadaan


.

Siis alkuluku p on esitetty kahden kokonailuvun tulona! Alkuluku on jaollinen vain itsellään ja ykkösellä. Siten on oltava


Ratkaisemalla ylemmästä yhtälöstä a = b + 1 ja sijoittamalla alempaan saadaan

b + 1 + b - 1 = p

ts.

2b = p,

josta nähdään, että alkuluku p on parillinen. Ainut parillinen alkuluku on 2. Siten p = 2, josta 2b = 2 ja edelleen b = 1 ja a = b + 1 = 2.

Siis vaaditut luvut ovat a = 2 ja b = 1.

Tehtävä

Määritä positiiviset kokonaisluvut a ja b, kun lausekkeiden

ja

erotus on alkuluku.

Matematiikan kauneudesta

Kun suurilta matemaatikoilta on kysytty, mikä heitä viehättää ja innostaa matematiikassa, vastauksissa usein viitataan matematiikan kauneuteen. Tuo kauneus on monenlaista. On kaavojen kauneutta, vaikkapa Eulerin suurenmoinen yhtälö

jossa yhdistyvät kaikki tärkeimmät matematiikan "luonnonvakiot", on matematiikan kaavoista syntyvien fraktaalien silminnähtävää kauneutta, geometristen, piirtämällä tehtyjen todistusten kauneutta, j.n.e.

Jo vuonna 1954 ranskalainen matemaatikko Hadamard kirjoitti: " ... kauneuden tunne näyttää olevan melkein ainoa käyttökelpoinen väylä matematiikan tutkimisessa." Lausahdusta on pidetty lähinnä anekdoottina ja kauneuden ja totuuden välinen riippuvuus on pysynyt mysteerinä.

Nyt on viimein osoitettu tieteellisesti, että ihmisen kauneuskäsitys ja kauneuden taju on merkittävä tekijä myös matemaattisen ongelmanratkaisun ja todistamisen yhteydessä. Bergenin yliopistossa Norjassa on julkistettu tutkimus (Rolf Reber, Morten Brun ja Karolinen Mitterndorfer, matemaatikkoja ja psykologeja), jossa tätä on tutkittu empiirisesti.

Asiasta tiedotti lehti ScienceDaily marraskuun 24. päivän artikkelissaan "Beauty Is Truth In Mathematical Intuition: First Empirical Evidence" http://www.sciencedaily.com/releases/2008/11/081120073130.htm

Kaikkiko vanhaa?

Arjen opetustyössä harhautuu pian itsekin uskomaan, että matematiikan maailmassa ei juuri uutta tapahdu. Iso osa opetettavasta asiasta on kehitetty jo viimeistään 1600-luvulla. Lukiessani kirjaa "Kirjeitä nuorelle matemaatikolle" (ks. http://miekka.blogspot.com/2008/11/lukemista.html), sain jälleen muistutuksen siitä, että koko ajan tapahtuu valtavaa kehitystyötä:

&bull Teoksessa World Directory of Mathematicians (maailman matemaatikot) mainitaan viisikymmentäviisituhatta nimeä ja osoitetta. Nämä kaikki ovat aktiivista tutkimustyötä tekeviä, huippumatemaatikkoja.

&bull Tunnettu aikakauskirja Mathematical Reviews ilmestyy kaksitoista kertaa vuodessa ja esimerkiksi vuoden 2004 numeroissa oli 10 586 sivua. Tämä julkaisu ei koostu artikkeleista vaan artikkeleiden lyhyisä tiivistelmistä. Kullakin julkaisun sivulla on tiivistelmä keskimäärin viidestä artikkelista, joten tuona vuonna julkaistiin tiivistelmä noin 50 000 artikkelista. Artikkelin keskimääräinen pituus on kenties kaksikymmentä sivua. Näin ollen ilmestyy noin miljoona sivua uutta matematiikkaa joka vuosi!

Lukemista

Olen kautta aikojen verrannut opettajantyötäni urheiluvalmennukseen. Oppilaille olen kertonut, että pyrin antamaan kaiken apuni ja tietoni, jotta he olisivat huippukunnossa kisoissa, mutta kuten urheilunkin puolella, tärkeää on, että valmennettavan selkä on märkä, ei valmentajan!

Olen viime aikoina lukenut vasta hankkimaani kirjaa "Kirjeitä nuorelle matemaatikolle" (Ian Stewart, Terra Cognita, suom. Juha Pietiläinen). Kirja sopisi mielestäni jokaiselle pitkän matematiikan opiskelijalle lukiossakin, vaikka on tarkoitettu jatko-opiskelijoiksi pyrkiville. Tuolta kirjasta löysin, monien muiden, hienompienkin kohtien lisäksi, uuden sanonnan aikaisemmin käyttämieni jatkoksi:

"Matematiikka ei ole penkkiurheilulaji!"

Mietteitä

The hardest thing to understand is why we can understand anything at all.

Albert Einstein

Ratkaisu

Vastaus mietiskelytehtävään http://miekka.blogspot.com/2008/11/mietiskeltvksi.html: valkoisessa laatikossa olevien sinisten kuulien ja sinisessa laatikossa olevien valkoisten kuulien määrät ovat yhtä suuret.

Tämä voidaan todistaa seuraamalla siirtoja vaiheittain:

1. 50 kuulan siirto valkoisesta laatikosta siniseen
- tässä vaiheessa valkoisessa laatikossa 2950 valkoista kuulaa ja sinisessä laatikossa 5000 sinistä ja 50 valkoista
1. 50 kuulan siirto sinisestä valkoiseen laatikkoon
- jos siirtoon lähtee mukaan k sinistä kuulaa, siirtyy samalla 50 - k valkoista. Siirron jälkeen valkoisessa laatikossa 3000 - k valkoista ja k sinistä kuulaa.

2. 100 kuulan siirto valkoisesta siniseen
- jos mukaan lähtee l valkoista kuulaa, on mukana 100 - l sinistä. Siirron jälkeen valkoisessa 3000 - k - l valkoista ja k + l - 100 sinistä ja sinisessä laatikossa 5100 - l sinistä ja k + l valkoista kuulaa.
2. 100 kuulan siirto sinisestä valkoiseen
- jos mukaan lähtee m sinistä, on mukana myös 100 - m valkoista kuulaa. Siirron jälkeen valkoisessa laatikossa on 3100 - k - l - m valkoista ja k + l + m - 100 sinistä ja vastaavasti sinisessä laatikossa on 5100 - l - m sinistä ja k + l + m - 100 valkoista kuulaa.

3. 150 kuulan siirto valkoisesta siniseen
- jos siirtoon lähtee n valkoista kuulaa, mukana on 150 - n sinistä. Siirron jälkeen valkoisessa laatikossa on 3100 - k - l - m - n valkoista ja k + l + m + n - 250 sinistä kuulaa ja sinisessä laatikossa vastaavasti 5250 - l - m - n sinistä ja k + l + m + n - 100 valkoista kuulaa.
3. 150 kuulan siirto sinisestä valkoiseen
jos mukaan lähtee r sinistä kuulaa, siirtyy valkoisia kuulia 150 - r kappaletta. Siirron jälkeen sinisessä laatikossa on 5250 - l - m - n - r sinistä ja k + l + m + n + r- 250 valkoista ja vastaavasti valkoisessa laatikossa on lopussa 3250 - k - l - m - n - r valkoista kuulaa ja k + l + m + n + r - 250 sinistä kuulaa.

Lopputilanteessa valkoisessa olevien sinisten määrä ja sinisessä olevien valkoisten määrä on sama (niin kuin koko prosessin ajan oli kun siirrot molempiin suuntiin oli tehty).

m.o.t.

Tilanteen voisi aavistella jo hyvin pienellä kokeella: ajattele lähtötilanteesta siirrettäväksi yksi pallo peräkkäin molempiin suuntiin ja tarkastele eri mahdollisuuksia!

LUMA-viikko Klassikassa

Kuopion klassillisessa lukiossa on menossa perinteinen LUMA-viikko (LUMA = luonnontieteet ja matematiikka). Viikkoon on perinteisesti sisältynyt erilaisisa demonstraatioita ja kilpailuja. Tämän vuoden kilpailuihin pääset tutustumaan oheisen linkin kautta: http://www.peda.net/veraja/kuopio/klaslukio/oppiaineet/luma

Mietiskeltäväksi

Valkoisessa laatikkossa on 3000 valkoista pientä kuulaa ja sinisessä laatikossa 5000 samankokoista sinistä kuulaa. Valkoisesta laatikosta siirretään 50 kuulaa siniseen laatikkoon, sekoitetaan sininen laatikko hyvin ja siirretään siitä summassa otetut 50 kuulaa valkoiseen laatikkoon. Sekoitetaan valkoinen laatikko, siirretään siitä 100 satunnaisesti otettua kuulaa siniseen laatikkoon, sekoitetaan se ja siirretään taas sinisestä laatikosta 100 kuulaa valkoiseen. Seuraavaksi tehdään tämä vielä molempiin suuntiin 150 kuulalla. Onko tämän jälkeen valkoisessa laatikossa enemmän sinisiä kuulia kuin sinisessä laatikossa valkoisia kuulia?

Uutisia

USA:n vaalit ovat viimein ohi ja tulokset ovat herättäneet yleensä niin jäyhät matemaatikotkin kuvaamaan tunteitaan palstoillaan. Ohessa linkki erääseen blogiin, jossa riemuitaan tuloksesta.

http://mathnotations.blogspot.com/2008/11/from-i-had-dream-to-yes-we-can.html

Google-kilpailu ratkesi

Klassikka-viikkojen yhteydess toteutettu kisailu http://miekka.blogspot.com/2008/10/pienin-positiivinen-kokonaisluku-jota.html saatettiin päätökseen tänään. Koulun opiskelijoiden osalta voiton vei Albert tuloksella 174 231 064 ja tämän myötä palkintona olleen lahjakortin. Onnea voittajalle ja kiitokset kaikille osanottajille!

Vastaus kertaustehtävään

Aikaisemmassa kirjoituksessa http://miekka.blogspot.com/2008/10/kertaustehtv.html esitetyn kertaustehtävänä olleen yhtälön ratkaisut ovat x = 1, x = 2 tai x = 4.

Ratkaisut löytyvät ehdoista
- eksponentti = 0
- kantaluku = 1
- kantaluku = -1 ja eksponentti parillinen

Ehdosta eksponentti = 0 saadaan ehdolle myös x = 3, mutta tämä joudutaan hylkäämään, koska

ei ole määritelty.

Matemaatikkojen hupia

Miksi amerikkalaisten matemaatikkojen mielestä Halloween ja Joulu omat samana päivänä?

Koska 31 Oct = 25 Dec :)

Kertaustehtävä

"Maailmalla" seikkaillessa tuli vastaan ihan mukava tehtävä, vaikkapa abeille kertaustehtäväksi:

.

Millaisia ratkaisuja löytyy?

This investigation (activity, problem) was authored by Dave Marain

Tämän teosteoksen käyttöoikeutta koskee Creative Commons Nimeä-Epäkaupallinen-Tarttuva 3.0 Muokkaamaton-lisenssi.

Kertolaskua toisin ajatellen

.












Kertolaskua voit suorittaa myös seuraavasti (ajatellaan, että halutaan laskea 5 * 6):
1. Piirrä paraabeli

2. Valitse käyrältä pisteet, joiden x-koordinaatit ovat kertolaskusi tulontekijöinä, siis x = 5 ja x = 6
3. Piirrä suora merkitsemiesi pisteiden kautta.
4. Suoran ja y-akselin leikkauspiste antaa tulon arvon vastaluvun (nyt siis -30). (Kuva suurenee klikkaamalla).

Kuvassa on piirretty tulon 5 * 6 ja -5 * 6 laskemiseen liittyvät suorat.

Löysin tällaisen "tempun" ilman perusteluja netistä sattumalta. Miksi tämä toimii ja onko tämä yleispätevä? Todistaminenhan on lopulta puhdasta analyyttistä geometriaa:

Oletetaan, että halutaan laskea tulo

Parabelilta valitaan siis pisteet

ja koska pisteet ovat paraabelilla, on voimassa


Pisteiden kautta kulkevan suoran yhtälö on silloin

josta välivaiheittain sievennellen saadaan




Nyt y-akselin leikkauspisteessä x = 0. Sijoittamalla tämä edellä muokattuun yhtälöön, saadaan

ja kun edellä jo todettiin, että

niin lopulta
.
M.O.T.

Lukuteoreettikkojen "tuttavia"

Olen jo useissa yhteyksissä todennut (esim. http://miekka.blogspot.com/2008/05/lukuteorian-saralta.html), että lukuteoreetikot tuntuvat tietävän käsittämättömän paljon erikoista meille jokapäiväisistä luvuista. Nyt löysin yhden tällaisen opiskelun aarreaitan. Käyppä vilkaisemassa http://www.stetson.edu/~efriedma/numbers.html. Kun vielä malttaa käydä katsomassa siellä lukujen perässä olevien selitysten linkit, on saanut aikamoisen tietomäärän.

Suurista luvuista

Syyskuun 29 kirjoitin uusista suurista alkuluvuista http://miekka.blogspot.com/2008/09/kaksi-uutta-mersennen-alkulukua.html. Sen jälkeen on välitunneilla syntynyt keskustelua kuinka suuria nuo luvut oikein ovat. Laskin, että jos ne kirjoitettaisiin pienellä käsialalla (2 mm/numero), suuremmalle luvulle kertyisi kirjoitettuna pituutta yli 25 kilometriä!!!

Muita viikolla esille nousseita suuria lukuja:

Googol on luku, jonka alussa on numero 1 ja sitä seuraa sata nollaa, eli

Nimen luvulle antoi Edward Kasnerin (matematiikan tohtori ja kirjailija) yhdeksänvuotias veljenpoika Milton.

Veljenpoika nimesi myös toisen "jättiläisen": Googolpleks, joka on

siis luku, joka alkaa ykkösellä ja jota seuraa googol nollaa. Veljenpojan "täsmällisempi" määritelmä googolpleksille oli: "Alussa on ykkönen ja sen perään kirjoitetaan niin monta nollaa kuin pystyy kirjoittamaan ennen kuin käsi väsyy."

Mietteitä

"A mathematician who is not also something of a poet will never be a complete mathematician."

- Karl Weierstrass

Tuon runoilun tilalle mielestäni sopii kyllä jokin muukin herkkä taiteen muoto, muta jotakin taiteellista todella täytyy olla!

Fields - matematiikan Nobel

Näinä päivinä on taas mielenkiinnolla seurattu vuotuisten Nobel-palkintojen julkistamisia. Ja on ollut hienoa olla suomalainen! Mutta missä viipyy tieto matematiikan Nobelistista? Nobel-palkinnot jaetaan Alfred Nobelin tahdon mukaisesti (vuodesta 1901 lähtien) fysiikkassa, kemiassa, lääketieteessä, kirjallisuudessa. Myöhemmin sarjaan on liitetty vielä rauhanpalkinto ja taloustieteen palkinto. Matematiikka siis puuttuu joukosta. Matematiikan Nobel-palkintona pidetään joka neljäs vuosi jaettavaa Fieldsin mitalia. Palkinto on perustettu kanadalaisen John Charles Fieldsin kehotuksesta. Mitalia on jaettu vuodesta 1936 alken 2 - 4:lle huippuansioituneelle matemaatikolle. Mitalia seuraa tällä hetkellä 10 550 euron suuruinen rahapalkinto. Palkinnon saajan on oltava alle 40 -vuotias. Suomalaisista Fieldsin mitalin on saanut Lars Ahlfors 1936 analyysin tutkimuksista. Mitalia säilytetään Helsingin yliopiston Exactum-rakennuksen aulassa uudella Kumpulan kampuksella. Viimeisimmistä myönnetyistä mitaleista on ehkä näkyvimmin esille noussut venäläinen Grigori Perelman, joka kahdeksan vuoden erakkona elämisen jälkeen esitti todistuksen niin sanotulle Poincaren otaksumalle. Tätä on pidetty yhtenä viime vuosien merkittävimmistä matematiikan saavutuksista. Erakkoluonteinen Perelman kuitenkin kieltäytyi mitalista eikä saapunut vastaanottamaan palkintoaan. Kuvan osoite http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/FieldsMedalFront.jpg/150px-FieldsMedalFront.jpg ja kuvaan kuuluu teksti 'Transire suum pectus mundoque potiri' ('Ylittää sielunsa ja ymmärtää maailma') Arvostetuista matematiikan palkinnoista lisää http://www.mathunion.org/medals/

Sykloidi

Sykloidi on käyrä, joka syntyy ympyrällä olevan pisteen piirtämänä kun ympyrä vierii suoraa pitkin. Käyrän nimesi Galilei 1599. Hän pyrki löytämään sykloidin rajoittaman alueen alan leikkaamalla ja punnitsemalla metallilevystä sykloidin muotoisia kappaleita. Torricelli, Fermat, ja Descartes kaikki saivat myös johdettua alan kaavan. Sykloidia tutkivat myös Roberval 1634, Wren 1658 , Huyghens 1673 ja Johann Bernoulli 1696. Roberval ja Wren löysivät myös sykloidin kaaren pituuden. Kun aiheessa oli monta tutkijaa, syntyi myös kiistoja siitä kuka mitäkin on löytänyt ja siksi sykloidia nimitetään myös Geometrian Helenaksi (vrt. taru Troijan Helenasta). Sykloidista on löydetty muunmuassa seuraavat ominaisuudet: &bull Sykloidin kaaren pituus on neljä kertaa vierivän ympyrän halkaisija. Erityisen huomattavaa on, että pituus ei riipu luvusta &pi . &bull Sykloidin kaaren rajoittama ala on kolme kertaa niin suuri kuin ympyrän ala. &bull Kun poikkileikkaukseltaan sykloidin muotoisen astian pohjalle vieritetään kuula, sen pohjalle laskeutumisen aika ei riipu pisteestä, josta kuula lasketaan irti. Sykloidin yhtälö parametrimuodossa on x = r(t - sint) y = r(1 - cost) missä t on reaalinen parametri ja rt on vierivän ympyrän keskipisteen x-koordinaatti. Havainnollisen kuvan sykloidin muodostumisesta saat sivulta http://matta.hut.fi/mattafi/livegr3d/sykloidi.html

Piin likiarvon laskeminen

Edellisessa kirjoituksessa oli vinkkejä &pi :n likiarvon muistamiseen. Herää varmaan kysymys, mistä näitä &pi :n likiarvoja sitten voidaan laskea. Laskemiseen on suuri määrä erilaisia mahdollisuuksia.

Seuraavasta linkistä niitä löytyy jo muutamia kymmeniä:

http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/06/01/01/

Kaavat ovat päättymättömiä sarjoja ja antavat sitä tarkempia likiarvoja mitä useampia termejä sarjoista otetaan mukaan.

Piin likiarvon muistaminen

Luku &pi on kiehtonut ihmismieliä jo kohta 3000 vuotta. Sille on laskettu eri menetelmillä yhä tarkempia ja tarkempia likiarvoja. Jonkinlainen kisailun kohde on ollut myös se, kuinka monta ensimmäistä desimaalia tuosta likiarvosta pystyy toistamaan. Eräs keino noiden numeroiden muistamiseen on ollut kehittää erilaisia loruja, joissa esiintyvien sanojen pituus kertoo aina seuraavan desimaalin.

Tiede -lehti julisti piiruno -kilpailun (Tiede 7/2008) runosta, jonka avulla voisi muistaa 20 - 30 ensimmäistä desimaalia. Nyt kilpailu sai ratkaisunsa ja voittajaksi valittiin Pasi Lehtolan ruono, joka kattaa 30 desimaalia (3,141592653589793238462643383279):

Pii, r sekä A iltaa istumassa
ei tullut vielä ole neliö
Juttunsa kiertävät taaskin ympyrässä
Oli se eri näköinen eliö
pyöreä ja pullea koko ala
Voi mahdoton työ on ympyrän neliöinti

Vastauksena kilpailuun oli tullut iso joukko muitakin hienoja "muistisääntöjä". Ne löytyvät oheisesta linkistä: www.tiede.fi/lehti/piirunot

Luku 99

* Luku 99 on suurin luku, joka on yhtäsuuri kuin numeroittensa summan ja numeroittensa tulon summa: 9 + 9 + 9 * 9 = 99.

* Luku 99 on Kaprekarin luku (vrt.  kirjoitus Kaprekarin vakio 30.09.2008):
Oletetaan, että meillä on n-numeroinen luku k. Korotetaan k luku toiseen, Lasketaan n:n oikeanpuoleisimman ja  n:n vasemmanpuoleisimman numeroin summa. Jos summa on k, niin lukua k sanotaan Kaprekarin luvuksi.

99^2 = 9801
98 + 01 = 99.

Ensimmäisiä Kaprekarin lukuja ovat 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, ...

Pienin positiivinen kokonaisluku, jota Google ei löydä

Tarkkailtuani noiden kirjoitusteni tiimoilta kansainvälisiä matematiikan sivuja ja blogeissa käytäviä keskusteluja, olen huomannut, että useammassa paikassa ollaan nyt kiinnostuneita siitä, mikä on pienin positiivinen kokonailuku, josta Google ei ole kuullutkaan. Juttu lähti liikkeelle Arkansasin yliopiston podcastista. (http://mathfactor.uark.edu/)

Muutamia kokeiluja
* luku 10 antoi 14 250 000 000 osumaa
* luku 35673 antoi 299 000 osumaa
* luku 568906 antoi vielä 6420 osumaa

Kuten arvata saattaa, löytyy kyllä helposti sellainen luku, jota Google ei löydä. Esimerkiksi ennen tämän kirjoittamista Google ei tunnistanut lukua 568906123456789 (mutta tämän kirjoittamisen jälkeen tietysti tuntee :) ) Pienimmän sellaisen luvun löytäminen onkin eri juttu!

Löydätkö paremman ehdotuksen? Jos niin, niin älä lähetä sitä kommenttina kertoen suoraan mikä tuo luku on vaan lähetä muodossa, jota Google ei pysty tunnistamaan, muutenhan tuo ennätysluku "tuhoutuu". Klassikkalaisille pidän tätä kilpailuna. Pienin luku palkitaan, vastausaikaa lokakuun loppuun saakka. Kommentteja odotellen.

Luku 141

Luku 141 on ensimmäinen kahdeksasta peräkkäisestä luvusta, joista jokaisella on täsmälleen kaksi alkulukutekijää.


Cullenin luvut ovat muotoa

Ne ovat alkulukuja n:n arvoilla 1, 141, 4713, 5795, 6611 ja 18496 ja yhdistettyjä lukuja kaikilla muilla n:n arvoilla, jotka ovat pienempiä kuin 30 000.

Kaprekarin vakio

Toukokuussa (26.05.2008) kirjoitin, että lukuteoreetikoille luvut eivät ole pelkästään numerosarjoja vaan usein hahmon saaneita jokapäiväisessä elämässä esiin putkahtelevia olioita. Eräs tällainen luku on Kaprekarin vakio, joka on saanut nimensä intialisen matemaatikon D.R. Kaprekarin mukaan.

Valitse mielivaltainen nelinumeroinen luonnollinen luku. Muodosta sen numeroista mahdollisimman suuri ja pieni luku. Vaähennä ne toisistaan. Menettele saamasi luvun kanssa samoin kuin edellä ja jatka toistamista. Korkeintaan seitsemän toiston jälkeen päädyt Kaprekarin vakioon.

Esimerkiksi valitaan luku 2008.
8200 - 0028 = 8172
8721 - 1278 = 7443
7443 - 3447 = 3996
9963 - 3996 = 6264
6642 - 2466 = 4176
7641 - 1467 = 6174.

Ja niin on päädytty Kaprekarin vakioon.

Luku 6174 on samalla myös Harshadin luku eli Nivenin luku, on siis jaollinen numeroidensa summalla (6174 = 343 * 18).

Asiasta enemmän: http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10002.5-8.shtml

Kaksi uutta Mersennen alkulukua

Syyskuun 16. pnä 2008 julkistettiin tieto 45. ja 46. Mersennen alkuluvun löytymisestä. The Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) projekti tuotti jälleen tulosta. Pienemmän luvun löysi Hans-Michael Elvenich 06.09.2008 ja suuremman Edson Smith 23.08.2008.

Mersennen luvut ovat muotoa

ja muutamat ensimmäiset ovat siis 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127. Mersennen alkuluvut ovat Mersennen lukuja, jotka ovat myös alkulukuja. Esimerkiksi

on Mersennen alkuluku.

Nyt löytyneet uudet Mersennen alkuluvut ovat

ja


Ensiksi mainitussa on 11 185 272 ja jälkimmäisessä 12 978 189 numeroa kymmenjärjestelmäesityksessä ja niinpä nämä ovat nyt kaksi suurinta tunnettua alkulkua (vrt kirjoitukseni 27.08.2008).

Asiasta enemmän: http://mathworld.wolfram.com/news/2008-09-16/mersenne-45-46/

Esimerkki viestin salaamisesta ja purkamisesta

Nytpä sitten numeerinen esimerkki viime kerran teoriaan. Tässä mukana paljon kongruenssien pyörittämistä laskimella käsiteltävien kokoisiksi.

A1. Valitaan alkuluvuiksi (nyt pienet) p = 19 ja q = 23.
A2. m = pq = 437
A3. b = (p - 1)(q - 1) = 396
A4. Valitaan a = 7

Näin on saatu viestien salaamisen avain m = 437 ja a = 7

B1. Muodostetaan Diofantoksen yhtälö ax - by = 1
siis 7x - 396y = 1

Eukleideen algoritmilla
396 = 56*7 + 4
7 = 1*4 + 3
4 = 1*3 + 1
3 = 3*1 + 0

Ratkaistaan jakojäännökset
4 = 396 - 56*7
3 = 7 - 1*4
1 = 4 - 1*3

Ja nyt viimeisestä jakojäännöksiä edeltä sijoittaen saadaan
1 = 4 - 1*3
= 4 - 1*(7 - 1*4) = -1*7 + 2*4
= -1*7 + 2*(396-56*7) = -113*7 + 2*396

Siten 7*(-113) + 396*2 = 1 ja alkuperäise diofantoksen yhtälön yhtenä ratkaisuna on x = -113 ja y = 2.

Nyt saatu x:n arvo ei negatiivisena tarkoitukseemme käy ja siten joudun täydentämään 10. syyskuuta kirjoitettua Diofantoksen yhtälöiden teoriaa. Jos yhtälön eräät ratkaisut ovat ja , niin yleinen ratkaisu on


Nyt tämän avulla löydämme x:lle ensimmäisen positiivisen ratkaisun -113 + 396 = 283 ja näin on nyt saatu purkuavain t = 283.

C1. Lähettäjä haluaa lähettää meille viestin 355, siis s = 355
C2. Viestin hän kryptaa saamillaan salausavaimilla muotoon

josta edelleen jakoyhtälöa ja sen antamaa jakojäännöstä käyttäen saadaan

ja näin hän lähettää meille salatun viestin z = 428.

D1. Viestin purkaminen tapahtuu kaavasta


Nyt siis jakoyhtälöitä, jakojäännöksiä ja kongruensseja käyttäen saadaan






ja niin lähettäjän lähettämä viesti 355 kulki välin niin salattuna, että se vieraisiin käsiin joutuessaankin pysyy salaisena.

Julkinen salakirjoitus RSA-menetelmällä

Nyt sitten edellä olleiden työkalujen esittelyn jälkeen itse salakirjoittamiseen ja sen purkamiseen.

A. Julkisen salakirjoitusavaimen muodostaminen
A1. Valitse kaksi suurta alkulukua p ja q
A2. Laske niiden tulo m = pq
A3. Laske Eulerin funktion arvo b = &phi(m)=(p-1)(q-1)
A4. Valitse jokin kokonaisluku a &ge 2, jolla ei ole yhteistä tekijää luvun b kanssa.

Luvut m ja a muodostavat sinulle lähetettävän viestin salausavaimen. Ne voidaan julkistaa vaikkapa lehdessä tai internetissä. Huomattavaa on, että julkistetun luvun m perusteella ei voida saada selville lukua b muutoin kuin löytämällä m:n tekijät p ja q. Tämä on taas ylivoimainen tehtävä tehokkaimmillekin tietokoneille jos p ja q ovat kyllin suuria. (Kts. teksti 27. elokuuta alkuluvuista)

B. henkilökohtaisen purkuavaimen muodostaminen
B1. Määritä Eukleideen algoritmilla yhtälölle ax - by = 1 jokin ratkaisu x = t ja y = u. (Kts. kirjoitukset 1. ja 10. syyskuuta)
- ratkaisu on olemassa, koska syt(a,b) = 1
- ratkaisu x = t toteuttaa yhtälön at = 1 bu = 1 + u&phi (m)

Luku t muodostaa purkuavaimen, jota ei anneta muilla vaan säilytetään tarkasti. Tämän purkuavaimen selvillesaaminen edellyttää yhtälön ax - by = 1 ratkaisemista, mikä taas edellyttää luvun b tuntemista, eikä tämä siis onnistu tietokoneellakaan, jos alun alkuluvut on valittu suuriksi.

C. Viestin salaaminen ja lähettäminen
C1. Lähettäjä kirjoittaa sanomansa luvuksi s, missä 0 &le s < m
C2. Lähettäjä kryptaa sanomansa s luvuksi

- tämä onnistuu, koska luvut a ja m ovat julkisia
C3. Lähettäjä lähettää sinulle luvun z.

D. Vastaanotetun sanoman purkaminen
D1. Saatuasi viestin z laske potenssi

käyttämällä henkilökohtaista purkuavaintasi t. Saat tulokseksi alkuperäisen sanoman s. Miksi? Siksi, että

ja Eulerin lauseen perusteella on
, joten


Seuraavalla kerralla vielä konkreettinen esimerkki yllä olevasta, tosin hyvin pienillä luvuilla, koska niilläkin siitä tulee käsin laskien aika työläs.