Eulerin identiteetti

Tunnilla nousi esille oppilaiden toimesta merkillinen tulos, joka todettiin laskimellakin todeksi:
.

Totesin, että tuohan on osa maailman kauneimmaksi sanottua yhtälöä
,
joka sitoo ihmeellisellä tavalla toisiinsa matematiikan eri osista esille nousseet luonnonvakiot e, i ja &pi . Tietysti tiedonhaluiset oppilaat halusivat asialle myös todistuksen, jonka lupasin etsiä ja tässä sitä nyt tulee vaiheittain.

Lähdetään liikkeelle Taylorin sarjoista. Funktion f(x) voi esittää sarjana (päättymättömänä summana) seuraavasti:


Näin valitsemalla f(x)= sinx ja a = 0, saadaan


ja aivan vastaavalla tavalla


ja vielä samaa tapaa käyttäen


Kun nyt viimeisimpään kaavaan sijoitetaan x = iz, jossa i on imaginaariyksikkö, jolla on ovimassa mm.


saadaan




Kun tätä viimeistä riviä verrataan sinx:n ja cosx:n Taylorin sarjakehitelmiin, saadaan lopulta tulos


Tämä tulos tunnetaan Eulerin lauseen nimellä.

Sijoittamalla nyt tähän luvun z paikalle &pi , saadaan


ja kun cos &pi = -1 ja sin &pi = 0, on näytetty, että
,
josta lopulta


m.o.t. :)