Matematiikan historiassa 22. kesäkuuta

Vuonna 1902 kesäkuun 22. päivänä vastauksessaan Bertrand Russelin kirjeeseen 16. kesäkuuta, Gottlob Frege toteaa tyypillisellä tieteellisellä kohteliaisuudella, että "löydöksesi ristiriidasta aiheutti minulle mitä suurimman yllätyksen ja, sanonpa melkein järkytyken, koska se on vavisuttanut perustaa, jolle aioin rakentaa aritmetiikan."

Russel oli huomannut joukon ristiriitaisuuksia Fregen Begriffsschriftissä vuodelta 1879. Tämä ristiriita voidaan esittää "kaikkien joukkojen joukkona jotka eivät sisällä itseään joukon alkiona." (Ns. Russelin paradoksi, jonka havainnolinen esimerkki on ns. Parturin paradoksi)

Kuva: Wikipedia

Matematiikan historiassa 16. kesäkuuta

Vuonna 1799 kesäkuun 16. päivänä Gauss sai tohtorinarvonsa 22 vuoden ikäisenä väitöskirjasta, joka antoi ensimmäisen oikean todistuksen algebran peruslauseesta. Tavallisesti vaadittu suullinen tutkinta jätettiin pois.

Matematiikassa algebran peruslause sanoo, että jokaisella yhden muuttujan polynomilla p ( z ) , jonka asteluku n ≥ 1 ja jonka kertoimet ovat reaali- tai kompleksilukuja, on ainakin yksi nollakohta kompleksilukujen joukossa. Toisin sanoen kompleksilukujen kunta on algebrallisesti suljettu kunta, ja siten yhtälöllä p ( z ) = 0 on asteluvun mukainen määrä juuria. Juurista voi tosin olla joitakin keskenään samoja, joten juurten kertaluku täytyy ottaa huomioon juurten lukumäärää laskettaessa.

Kuva: doodlelearning.com

Vuonna 1902 kesäkuun 16. päivänä Bertrand Russel kirjoitti Gottlob Fregelle kertoen, että tämän teoksessa Grundgesetze der Arithmetik "on vain yksi kohta, jossa olen huomannut hankaluuden." tämä hankaluus oli ns. Russelin paradoksi.

Kuva: Wikipedia

Kesäkuun 22. päivänä Frege vastaa tyypillisellä tieteellisellä kohteliaisuudella että "löytösi ristiriidasta aiheutti minulle mitä suurimman yllätyksen ja, täytyypä melkein sanoa, ahdistuksen, koska sen on järisyttänyt perustaa, jolle aioin aritmetiikan rakentaa."

Fregestä kirjotin enemmän 6. tammikuuta

Kuva: Wikipedia

Russelin paradoksi voidaan määritellä seuraavasti: Oletetaan, että joukon M alkioita ovat kaikki sellaiset (normaalit) joukot, jotka eivät kuulu itseensä. Joukko A on siis joukon M alkio vain, jos joukko A ei ole itse oma alkionsa. Paradoksi seuraa kysymyksestä, kuuluuko joukko M tällöin yhtenä alkiona itseensä? Jos kuuluisi, niin ei tulisi M:n oman määritelmän perusteella kuulua; jos taas ei kuulu, niin silloin tulisi saman määritelmän mukaan kuulua.

Paradoksin idean voi esittää myös konkreettisena esimerkkinä, esimerkiksi kuuluisalla parturin paradoksilla: oletetaan, että kylän parturi ajaa parran niiltä ja vain niiltä kyläläisiltä, jotka eivät aja omaa partaansa. Ajaako hän tällöin oman partansa? Jos parturi ajaa oman partansa, hän ei aja omaa partaansa ja kääntäen.

Matematiikan historiassa 6. tammikuuta

Vuonna 1900 tammikuun 6. päivänä Gottlob Frege kirjoitti Hilbertille: "Oletetaan tiedetyksi, että väitteet (1) A on älykäs olento, (2) A on kaikkialla oleva, (3) A on kaikkivoipa , yhdessä kaikkinen seurauksineen eivät ole ristiriidassa keskenään. Voimmeko tästä päätellä että on kaikkivoipa, kaikkialla oleva älykäs olento?"

Gottlob Frege, joka syntyi 8. marraskuuta vuonna 1848, oli saksalainen filosofi, loogikko ja matemaatikko ja häntä pidetään modernin logiikan isänä. Hän kehitteli logiikan notaatiota ja menetelmiä esitellen ns. predikaattilogiikan. Hänen luomiaan ovat muunmuassa kvanttorit. Hänen keskeisin teoksensa on Grundgesetze der Arithmetik, (vol. 1, 1893; vol. 2, 1903). Sen keskeinen oletus on, että matematiikka on logiikan alalaji.

Fregen kehittämä prediaattikalkyyli mahdollisti täsmällisemmät esitykset käsitteille "joku" ja "kaikki". Nyt matematiikan kielellä voitiin täsmällisesti esittää aiemmin vaikeasti formuloitavat lauseet "jokainen poika rakastaa jotakin tyttöä" ja "jotakin tyttöä rakastavat kaikki pojat". Jopa lause "Jokainen poika rakastaa jotakin tyttöä, joka rakastaa jotakin poikaa, joka rakastaa jotakin tyttöä" voitiin esittää täsmällisesti. Frege tosin yksinkertaisiti ilmaisun muotoon "every boy is foolish" :)

Logiikan käsitteiden analyysi ja formalisointi, jotka ovat olennaisia Bernhard Russelin ja Alfred North Whiteheadin Principia Mathematicassa, Russelin kuvausten teoriassa, Kurt Gödelin epätäydellisuyysteoreemoissa ja Alfred Tarskin totuuden teoriassa, on hyvin suuresti Fregen ansiota.

Kuva: Wikipedia