Matemaatikon ajatuksia 02. maaliskuuta

Matematiikka on oikein tarkasteltuna totuudenmukaisuuden lisäksi myös kaunista. Kylmänja yksinkertaisen kaunista kuin veistos, ei minkäänlaista vetovoimaa heikommalle puolellemme, ei yhtäkään maalausten tai musiikin loistokasta ominaisuutta, kuitenkin äärettömän puhdasta ja kyvykäs vakaaseen täydellisyyteen kuin parhain taide.

Bertrand Russel teoksessaan Mysticism and Logic 1917

Kuva: Wikippedia

Ajatuksia matematiikasta 17. helmikuuta

Yksi syy siihen, että matematiikkaa arvostetaan erityisen paljon , on että sen lait ovat täysin varmoja ja kiistattomia, mutta muiden tieteiden on oltava tietyllä tavalla kyseenalaistettavissa ja jatkuvassa vaarassa tuhoutua uusien faktojen takia.

Albert Einstein, Sidelights on Relativuty, 1922

Siitä, että jonkin voi laskea ei seuraa, että se pitää laskea.

Harold Enarson puheessaan 1975

Harold Leroy Enarson oli The Ohio State Universityn yhdeksäs rehtori.

Matemaatikon mietteitä

God exists since mathematics is consistent, and the devil exists since its consistency cannot be proved (Jumala on olemasssa koska matematiikka on ristiriidaton, ja paholainen on olemassa koska ristiriidattomuutta ei voida todistaa).

- Andrew Wiles

Andrew Wiles (s. 11. huhtikuuta 1953) on brittiläinen Yhdysvalloissa vaikuttava matemaatikko, jonka suurin saavutus on Fermat’n suuren lauseen todistaminen.

Wiles etsi ratkaisua seitsemän vuotta ja vihdoin esitti todistuksen Isaac Newton Instituten järjestämässä kongressissa 23. kesäkuuta 1993. Asiantuntijat, jotka tarkistivat Wilesin käsikirjoituksen, löysivät todistuksesta virheen elokuussa 1993. Wiles sulkeutui taloonsa 14 kuukaudeksi ja sai lopulta virheen korjattua syyskuussa 1994. Todistus pohjautui keksinnöille, joita ei ollut vielä Fermat’n aikana. Kaksi todistukseen liittyvää tutkimusta julkaistiin Annals of Mathematics -lehdessä toukokuussa 1995. Todistus oli lopullisesti ja virallisesti hyväksytty, ja yli 350 vuotta aikaisemmin esitetty ongelma ratkaistu.

Tsekin tasavallassa julkaistiin asian kunniaksi postimerkki vuonna 2000.

Norjan tiedeakatemia myönsi Fermat’n suuren lauseen ratkaisusta Wilesille Abelin palkinnon vuonna 2016

Kuva: Wikipedia

Ajateltavaa

Algebraa sovitetaan taivaan pilviin; tähden säteily hyödyttää ruusua; ei kukaan ajattelija rohkenisi sanoa, että orapihlajan tuoksu on hyödytöntä taivaankappaleille. Kukapa voi laskea molekyylin uran? Tiedämmekö, eikö maailmoiden luomista ehkä määrää jonkin hiekanjyväsen putoaminen? Kuka tuntee äärettömän suuren ja äärettömän pienen välisen vuoksen ja luoteen, syiden kaiun olevaisen onkaloissa, luomakunnan tulvahduksissa? … Kaikkien lentävien lintujen jalassa on äärettömyyden lanka. … Missä teleskooppi lakkaa, alkaa mikroskooppi.

Victor Hugo, Kurjat, 1862

Kuva Wikipedia

Kevättä kohti

Onpa taas aika rankka työputki takana: YO-kirjoitukset, jakson loppu ja koeviikko. Tuona aikana ei ole juuri ehtinyt tänne kirjoittelemaan, seurannut vaan aina illan päätteeksi Twitterin virtaa. Siellä käy tällä hetkellä sellainen uusien tuulien kohina, että uskon vaikutuksien näkyvän vielä tulossa olevissa OPS:n perusteissa ja sitä kautta OPSeissa ja koulun arjessakin.

Selvä näkymä on, että nämä nyt kasvamassa olevat nettinatiivit lapset ja nuoret tarvitsevat uudenlaisia oppimisympäristöjä ja uudenlaista lähestymistapaa opiskeltaviin asioihin. Meille aikanaan tarjoiltu ei enää toimi kaikessa.

Näitä tuulia haistellessa näin tämän seuraavassa linkissä olevan jutun, joka meille matematiikan parissa työtä tekevien pitää ottaa vakavasti tarkasteltavaksi ja käyttöön. Ajatuksena siis arjen elämä ja ongelmalähtöisyys. Toivottavasti oppikirjojen ja lisämateriaalien tekijät meitä siinä auttavat!

http://bit.ly/hbzYTh

Pikainen vastaus

Olipa nopeaa reagointia :) Vasta eilen ihmettelin, eikö OPH tai joku muu virallinen taho virka mitään nykyisestä kehityksestä. Ja heti alkaa kuulua jo jotakin. Opetusalan ammattijärjestön koulutusasiainpäällikkö Heljä Misukka kommentoi asiaa MTV3:ssa. Tarkemmin seuraavassa http://bit.ly/hL5KXI

Uutta kohti, mutta miten?

Pitkään aikaan en ole ennättänyt tänne kirjoittamaan. Monenlaisen kouluahertamisen (nyt menossa koeviikko) jälkeinen tietotekniikkaan käyttämäni "vapaa-aika" on kulunut hyvin suurelta osalta Twitterin parissa. Siellä liikkuu aivan valtavasti tietoa. On vain osattava etsiä oikeilla hakusanoilla ja toisaalta osattava valita mitä tai ketä seuraa.
Itsekin tukehduin alussa tuohon tulvaan ja niin lähdin uudelleen liikkeelle. Poistin kaikki entiset seurattavat ja olen sen jälkeen ottanut uusia hyvin vähän, vain niin että todella jaksan lukeakin sen mitä saan. Muuten homma menee vain viestien keräilyksi. Ja nytkin hyviä linkkejä tulee suuri joukko päivässä.

Yksi aihealue, jota olen yrittänyt seurata on (tietysti) uuden teknologian käyttö opetuksessa. Näyttää siltä, että nuo uudet taulutietokoneet (tabletit, sormitietokoneet) ovat ennemmin tai myöhemmin tulossa kouluihin ja ympäri maailmaa niitä on jo otettu monella tavoin käyttöön. Mikä niiden rooli tulee olemaan Suomessa? Mitä näiden suhteen ollaan nyt tekemässä opetussuunnitelmissa, opettajain koulutuksessa, kirjakustantamoissa, ...? Varmaan joku näiden asioiden kanssa tekee töitä mutta miksi näistä ei näy virallista (OPH, OPM, OAJ, ...) juttua julkisuudessa (en ole ainkaan havainnut)?

Firmat ovat kyllä pian liikkeellä, esim. http://www.ilonait.fi/index.php?id=ipad-opetuksessa

Miete

Maailmassa on 10 ihmistyyppiä: ne jotka ymmärtävät binäärilukuja ja ne jotka eivät ymmärrä.

Epimenides

Olin syysloman aikaan lomamatkalla Kreetalla ja kun yhdelle päivälle sattui pieni sadekuurokin, poikkesin pienelle katetulle kujalle kreikkalaiselle kahville. Kahvia maistellessa siinä vain totesin vaimolle, että on se kiva kun tuon koulutuksen myötä on hieman oppinut noita kreikan kielen aakkosiakin niin pystyy vähän lukemaan noita kylttejäkin. Ja niin aloin vilkuilla ympärille, mitä kylttejä olisi tarjolla. Tuossahan lukee E - P - I - M - E ... Hyvänen aika, siinähän lukee Epimenides! Olin juuri logiikan kurssilla puhunut Epimenideen paradoksista eli valehtelijan paradoksista.

Kyselin sitten tavernan pitäjältä, tiesikö hän mikä tämä tällainen Epimenides oli, joka oli antanut nimen hänen tavernansa kadulle. Ei ollut aavistusta. Totesi vain, että se on varmaan jonkun miehen nimi. Ja arvaattehan miten siinä käy: opettaja ei osaa olla opettamatta. Ja niin minä pidin kreetalaiselle luentoa kreetalaisesta filosofista!

Edellisen matkan aikana olin jo vieraillut Epimenideen asuinseudulla Festoksen lähellä, paikassa, jossa on kirjoitettuna vanhin eurooppalainen säilynyt lakiteksti kiveen hakattuna.

En muuten osannut olla kokonaan irti työroolista muutenkaan. Yhtenä päivänänä etsin käsiini paikallisen, ei turisteille tarkoitetun, kirjakaupan ja pyysin kauppiasta hakemaan minulle paikalliset lukion matematiikan kirjat. Niitä selatessa kului melkoinen aika ja täytyy sanoa, että ihastuin. Olivat mielestäni upeita matematiikan kirjoja. Jos matkatavaroiden paino olisi sallinut, olisin tuonut ne mukanani, nyt pitää yrittää tilata niitä kun en tyhmyyksissäni älynnyt lähettää niitä sieltä postilähetyksenä.

Ohje

Nyt jakson päättyessä huomaan taas, että kurssiin käytettävä aika on todella lyhyt. Pitäisi muistaa vanha ohje:

Golden rule for math teachers: You must tell the truth, and nothing but the truth, but not the whole truth.


Sitä vaan jotenkin aina haluaisi kertoa kaiken kaikesta!

Blogeista

Nyt kesäaikana yhtenä nautinnoistani on blogien seuraaminen. Työkauden aikana niitä ennättää vain vähän syrjäsilmällä vilkuilemaan mutta nyt niihin ennättää syventyä vähän tarkemminkin. Tuossa oman bloginin oikeassa laidassa on osa listaa, jota seuraan. Sieltäkin löytyy paljon mielenkiintoista. Esim. tällä viikola on ollut esillä sosiaalinen oppiminen blogissa dy/dan http://blog.mrmeyer.com/ (, jossa yleensä on ollut tavalliselle matikanopettajalle maanläheisiäkin juttuja). Sitä sosiaalisen oppimisen sarkaa tällä palstalla olen yrittänyt itselleni selvittää ja siihen jotakin ymmärrystä saada ja samalla tutkailla miten se liittyy siihen "oikeaan kouluoppimiseen" ja mitähän sen nykypäivänä pitäisikään olla. Tästä varmaan saataisiin paikallisen kerhonkin puitteissa aikaan kunnon keskustelua.

Paikanmäärittämiseen maapallolla liittyviä tarkasteluja löytyy blogista 360 http://threesixty360.wordpress.com/

(Kuva 03.06.2009 auringon noustessa, lämpötila 0)

Lukuvuosi lähenee loppuaan

"Kevät on kauneimmillaan kun vaahtera kukkii." Näin olen joskus lukeneut jonkun mietelauseessa ja siitä lähtien olen sen näin keväisin huomannut pitävän todella hyvin paikkansa. Nyt viikonloppuna tuo taas konkretisoitui kun huomasin nämä oksat naapurin pihassa (kuvasta klikaten saat ne lähemmäksi).

Tänään tuli sitten pidettyä kevään viimeiset varsinaiset oppitunnitkin, enää jäljellä kertaustunnit, kokeet ja niiden korjaaminen. Urakkaa siinä on vielä aika lailla, neljän ison ryhmän tuotokset vihkoineen!

Oikea titteli?

Olen muutaman päivän ajan koonnut aineistoa esitelmään matematiikan historiasta. Sen myötä olen alkanut miettiä tämän hetken työtäni ja titteliä: matematiikan opettaja. Kyllä lähempänä taitaisi olla historian opettaja! Opetamme asioita, jotka keksittiin ja otettin käyttöön suurimmaksi osaksi jo viimeistään kolmesataa vuotta sitten. Onhan nykypäivän matematiikan tutkimus niin korkealentoista että sen seuraaminen ilman valtavaa kertausta ja lisäkoulutusta on käytännössä itsellekin mahdotonta, kouluopetukseen sen tuomista ei voi edes kuvitella.

Tässä vaiheessa alkaakin sitten jo miettiä uudestaan mitä me matematiikan tunnilla oikeasti opetamme tai ainakin mitä meidän pitäisi opettaa!

Kuva Rafaello: The School of Athens (Wikimedia Commons)

Määritelmä

Nyt on meneillään Darwinin juhlavuosi (syntymästä 200 vuotta ja Lajien synty -teoksen ilmestymisestä 150 vuotta). Seuraavassa hänen määritelmänsä matemaatikosta:

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there. (Charles R Darwin)

(Kuva Wicimedia Commons)

Maailma muuttuu Eskoseni

Viime viikolla julkistettiin tutkimustulos, joka sai minut muistelemaan menneitä. Kävin koulua maineikkaassa Iisalmen Lyseossa (sama koulu, josta Keke Rosberg ja Seppo Kääriäinenkin kirjoittivat ylioppilaiksi). Tuolloin joskus tuntui, että koulussa oli luvallista vain viittaaminen. Voimassa oli vielä vuoden 1872 keisarillinen asetus Koulujärjestyksestä kaikessa ankaruudessaan (http://www.hel2.fi/kaumuseo/koulumuseo/koulujarjestys.html). Tuolloin sai monikin luokkatoverini tunnin istumista ja käytöksen alennuksen merkinnällä: purukumin syöminen tunnilla.

Nyt tuo tutkimustulos, johon alussa viittasin, kertoo, että purkan syönnin on havaittu mahdollisesti parantavan matematiikan oppimisen tuloksia. Asiaa on tutkittu Houstonissa, Texasissa. http://in.reuters.com/article/worldNews/idINIndia-39195420090423
(Kuva: Pinnoitus-Pekka Oy)

Pakkolomalla

Niin on sitten vietetty tuo kaupungin talouden säästökeinokseen keksimä pakkoloma. Olin lomautettuna 16. - 22.04.2009 välisen ajan, jolloin opiskelijat etenivät kursseissa itsenäisesti opiskellen. Onneksi lomautuksen ajalle satuivat aivan huikeat kevätsäät. Niinpä oma lomani kului kuntoillessa ja luonnossa liikkumisessa. Sieltä tuo kuvakin (joita loman aikana kertyi melkein sata, niitä vilahtelee tuolla oikean alakulman kuvien joukossa).

Nyt kouluun palaamisen jälkeen olen tiedustellut miten itsenäisten tehtävien suorittaminen sujui. Ja kuten arvata saattaa: osa on saanut tehtyä kaikki tehtävät, osalta työ on ollut aloittamista vaille valmis! Kun tämän lisäksi nyt loppukurssin aikana osa opiskelijoista on Ruotsissa, osa Roomassa ja osa Espanjassa, luulen että tunnin opetustallenteille on käyttöä! Kokeilen, miten saisin siitäkin tänne pätkän näkymään.

Tässäkö syy?

Olen jo kauan miettinyt, mistä johtuu ainainen kiireeni matematiikan kurssien opettamisessa. Nyt taisi löytyä syy. Vuonna 1916 syntynyt ja 2006 kuollut unkarilais-amerikkalainen matemaatikko Paul Halmos kirjoitti:

Many teachers are concerned about the amount of material they must cover in a course. One cynic suggested a formula: since, he said, students on the average remember only about 40% of what you tell them, the thing to do is to cram into each course 250% of what you hope will stick.

Kollegat, tuntuuko tutulta?

Kaikkiko vanhaa?

Arjen opetustyössä harhautuu pian itsekin uskomaan, että matematiikan maailmassa ei juuri uutta tapahdu. Iso osa opetettavasta asiasta on kehitetty jo viimeistään 1600-luvulla. Lukiessani kirjaa "Kirjeitä nuorelle matemaatikolle" (ks. http://miekka.blogspot.com/2008/11/lukemista.html), sain jälleen muistutuksen siitä, että koko ajan tapahtuu valtavaa kehitystyötä:

&bull Teoksessa World Directory of Mathematicians (maailman matemaatikot) mainitaan viisikymmentäviisituhatta nimeä ja osoitetta. Nämä kaikki ovat aktiivista tutkimustyötä tekeviä, huippumatemaatikkoja.

&bull Tunnettu aikakauskirja Mathematical Reviews ilmestyy kaksitoista kertaa vuodessa ja esimerkiksi vuoden 2004 numeroissa oli 10 586 sivua. Tämä julkaisu ei koostu artikkeleista vaan artikkeleiden lyhyisä tiivistelmistä. Kullakin julkaisun sivulla on tiivistelmä keskimäärin viidestä artikkelista, joten tuona vuonna julkaistiin tiivistelmä noin 50 000 artikkelista. Artikkelin keskimääräinen pituus on kenties kaksikymmentä sivua. Näin ollen ilmestyy noin miljoona sivua uutta matematiikkaa joka vuosi!

Lukemista

Olen kautta aikojen verrannut opettajantyötäni urheiluvalmennukseen. Oppilaille olen kertonut, että pyrin antamaan kaiken apuni ja tietoni, jotta he olisivat huippukunnossa kisoissa, mutta kuten urheilunkin puolella, tärkeää on, että valmennettavan selkä on märkä, ei valmentajan!

Olen viime aikoina lukenut vasta hankkimaani kirjaa "Kirjeitä nuorelle matemaatikolle" (Ian Stewart, Terra Cognita, suom. Juha Pietiläinen). Kirja sopisi mielestäni jokaiselle pitkän matematiikan opiskelijalle lukiossakin, vaikka on tarkoitettu jatko-opiskelijoiksi pyrkiville. Tuolta kirjasta löysin, monien muiden, hienompienkin kohtien lisäksi, uuden sanonnan aikaisemmin käyttämieni jatkoksi:

"Matematiikka ei ole penkkiurheilulaji!"

Mietteitä

The hardest thing to understand is why we can understand anything at all.

Albert Einstein