Eulerin identiteetti

Tunnilla nousi esille oppilaiden toimesta merkillinen tulos, joka todettiin laskimellakin todeksi:
.

Totesin, että tuohan on osa maailman kauneimmaksi sanottua yhtälöä
,
joka sitoo ihmeellisellä tavalla toisiinsa matematiikan eri osista esille nousseet luonnonvakiot e, i ja &pi . Tietysti tiedonhaluiset oppilaat halusivat asialle myös todistuksen, jonka lupasin etsiä ja tässä sitä nyt tulee vaiheittain.

Lähdetään liikkeelle Taylorin sarjoista. Funktion f(x) voi esittää sarjana (päättymättömänä summana) seuraavasti:


Näin valitsemalla f(x)= sinx ja a = 0, saadaan


ja aivan vastaavalla tavalla


ja vielä samaa tapaa käyttäen


Kun nyt viimeisimpään kaavaan sijoitetaan x = iz, jossa i on imaginaariyksikkö, jolla on ovimassa mm.


saadaan




Kun tätä viimeistä riviä verrataan sinx:n ja cosx:n Taylorin sarjakehitelmiin, saadaan lopulta tulos


Tämä tulos tunnetaan Eulerin lauseen nimellä.

Sijoittamalla nyt tähän luvun z paikalle &pi , saadaan


ja kun cos &pi = -1 ja sin &pi = 0, on näytetty, että
,
josta lopulta


m.o.t. :)

Ratkaisu

Vastaus mietiskelytehtävään http://miekka.blogspot.com/2008/11/mietiskeltvksi.html: valkoisessa laatikossa olevien sinisten kuulien ja sinisessa laatikossa olevien valkoisten kuulien määrät ovat yhtä suuret.

Tämä voidaan todistaa seuraamalla siirtoja vaiheittain:

1. 50 kuulan siirto valkoisesta laatikosta siniseen
- tässä vaiheessa valkoisessa laatikossa 2950 valkoista kuulaa ja sinisessä laatikossa 5000 sinistä ja 50 valkoista
1. 50 kuulan siirto sinisestä valkoiseen laatikkoon
- jos siirtoon lähtee mukaan k sinistä kuulaa, siirtyy samalla 50 - k valkoista. Siirron jälkeen valkoisessa laatikossa 3000 - k valkoista ja k sinistä kuulaa.

2. 100 kuulan siirto valkoisesta siniseen
- jos mukaan lähtee l valkoista kuulaa, on mukana 100 - l sinistä. Siirron jälkeen valkoisessa 3000 - k - l valkoista ja k + l - 100 sinistä ja sinisessä laatikossa 5100 - l sinistä ja k + l valkoista kuulaa.
2. 100 kuulan siirto sinisestä valkoiseen
- jos mukaan lähtee m sinistä, on mukana myös 100 - m valkoista kuulaa. Siirron jälkeen valkoisessa laatikossa on 3100 - k - l - m valkoista ja k + l + m - 100 sinistä ja vastaavasti sinisessä laatikossa on 5100 - l - m sinistä ja k + l + m - 100 valkoista kuulaa.

3. 150 kuulan siirto valkoisesta siniseen
- jos siirtoon lähtee n valkoista kuulaa, mukana on 150 - n sinistä. Siirron jälkeen valkoisessa laatikossa on 3100 - k - l - m - n valkoista ja k + l + m + n - 250 sinistä kuulaa ja sinisessä laatikossa vastaavasti 5250 - l - m - n sinistä ja k + l + m + n - 100 valkoista kuulaa.
3. 150 kuulan siirto sinisestä valkoiseen
jos mukaan lähtee r sinistä kuulaa, siirtyy valkoisia kuulia 150 - r kappaletta. Siirron jälkeen sinisessä laatikossa on 5250 - l - m - n - r sinistä ja k + l + m + n + r- 250 valkoista ja vastaavasti valkoisessa laatikossa on lopussa 3250 - k - l - m - n - r valkoista kuulaa ja k + l + m + n + r - 250 sinistä kuulaa.

Lopputilanteessa valkoisessa olevien sinisten määrä ja sinisessä olevien valkoisten määrä on sama (niin kuin koko prosessin ajan oli kun siirrot molempiin suuntiin oli tehty).

m.o.t.

Tilanteen voisi aavistella jo hyvin pienellä kokeella: ajattele lähtötilanteesta siirrettäväksi yksi pallo peräkkäin molempiin suuntiin ja tarkastele eri mahdollisuuksia!

Mietiskeltäväksi

Valkoisessa laatikkossa on 3000 valkoista pientä kuulaa ja sinisessä laatikossa 5000 samankokoista sinistä kuulaa. Valkoisesta laatikosta siirretään 50 kuulaa siniseen laatikkoon, sekoitetaan sininen laatikko hyvin ja siirretään siitä summassa otetut 50 kuulaa valkoiseen laatikkoon. Sekoitetaan valkoinen laatikko, siirretään siitä 100 satunnaisesti otettua kuulaa siniseen laatikkoon, sekoitetaan se ja siirretään taas sinisestä laatikosta 100 kuulaa valkoiseen. Seuraavaksi tehdään tämä vielä molempiin suuntiin 150 kuulalla. Onko tämän jälkeen valkoisessa laatikossa enemmän sinisiä kuulia kuin sinisessä laatikossa valkoisia kuulia?

Kertolaskua toisin ajatellen

.












Kertolaskua voit suorittaa myös seuraavasti (ajatellaan, että halutaan laskea 5 * 6):
1. Piirrä paraabeli

2. Valitse käyrältä pisteet, joiden x-koordinaatit ovat kertolaskusi tulontekijöinä, siis x = 5 ja x = 6
3. Piirrä suora merkitsemiesi pisteiden kautta.
4. Suoran ja y-akselin leikkauspiste antaa tulon arvon vastaluvun (nyt siis -30). (Kuva suurenee klikkaamalla).

Kuvassa on piirretty tulon 5 * 6 ja -5 * 6 laskemiseen liittyvät suorat.

Löysin tällaisen "tempun" ilman perusteluja netistä sattumalta. Miksi tämä toimii ja onko tämä yleispätevä? Todistaminenhan on lopulta puhdasta analyyttistä geometriaa:

Oletetaan, että halutaan laskea tulo

Parabelilta valitaan siis pisteet

ja koska pisteet ovat paraabelilla, on voimassa


Pisteiden kautta kulkevan suoran yhtälö on silloin

josta välivaiheittain sievennellen saadaan




Nyt y-akselin leikkauspisteessä x = 0. Sijoittamalla tämä edellä muokattuun yhtälöön, saadaan

ja kun edellä jo todettiin, että

niin lopulta
.
M.O.T.