Uusi matematiikan oppikirja syntyi

Viime viikonloppuna 28. - 30.09.2012 syntyi Helsingissä Metropolia-ammattikorkeakoulussa uusi pitkän matematiikan oppikirja. Siis koko kirja yhden viikonlopun aikana. Asialla oli parikymmentä matematiikan osaajaa professorista lukio-opiskelijoihin. Kyseessä on pitkän matematiikan ensimmäisen kurssin, MAA1:n kirja.

Kirja on saatu lopullista kuvistusta vaille valmiiksi tuon viikonlopun aikana ja on tutkittavissa myös netissä. Tuote on ns. avoimen lähdekoodin kirja, vapaasti kaikkien käytettävissä ja omaan tarkoitukseen myös vapaasti muokattavissa.

Kirjaprojektin vetäjä Vesa Linja-aho toteaakin: "Muutaman kuukauden päästä meillä on yhtä hyvää tai parempaa laatua oleva kirja kuin kaupalliset kirjat." Projekttiin osallistuneilla on mielessä jo toisen kurssin kirjan tekeminen.

Kirjaa kannattaa käydä tutkimassa. Ainakin itselleni huomasin siellä käyttöön hyvin sopivia palasia.

Tuotteen tai projektin nimi "Matikka verkosta vapauteen", hieno oivallus!

Tästä kirjaan

Rationaaliluvuista

Kahden joukon sanotaan olevan keskenään ekvivalentteja jos ja vain jos niiden välille voidaan määrittää yksikäsitteinen vastaavaavuus. Joukoilla, jotka ovat keskenään ekvivalentteja, on sama kardinaaliluku (joukot ovat yhtä mahtavat (= "yhtäsuuret")). Äärellisten joukkojen mahtavuutta voidaan kuvata yksinkertaisesti luonnolisilla luvuilla. Äärettömien joukkojen kardinaalilukuja sanotaan myös transfiniittiluvuiksi. Luonnollisten lukujen joukon N kardinaalilukua merkitään yleensä merkillä ℵ_o (hebrean kielen kirjain aleph ja alaindeksi nolla). Joukkoa, jolla on tämä sama kardinaliluku, sanotaan numeroituvaksi.

Rationaalilukujen joukko on tiheä. Tällä tarkoitetaan sitä, että kahden eri rationaaliluvun välillä on aina rationaaliluku, itseasiassa kahden rationaaliluvun välillä on aina ääretön määrä rationaalilukuja. Esimerkiksi lukujen 0 ja 1 välillä ovat esimerkiksi rationaaliluvut

    1/2,   2/3,   3/4,   4/5, . . . , n/(n+1), ... ,

lukujen 0 ja 1/2 väillä ovat rationaaliluvut

    1/3,   2/5,   3/7,   4/9, . . . , n/(2n+1), ...,

lukujen 0 ja 1/4 välillä ovat rationaaliluvut

    1/5,   2/9,   3/13,  4/17,. . . , n/(4n+1), ...

ja niin edelleen. Samaan ajatukseen voi päästä myös ajatellen, että kahden mielivaltaisen rationaaliluvun välillä on aina ainakin näiden lukujen keskiarvo, joka on aina rationaaliluku (helposti osoitettavissa).

Tämän jälkeen tuntuu aluksi mahdottomalta ajatella, että luonnollisten lukujen joukko N ja rationaalilukujen joukko Q olisivat yhtä mahtavat. Tämä voidaan kuitenkin osoittaa seuraavasti.

Luodaan taulukko kaikista rationaaliluvuista:

1     2     3     4     ...

1/2   2/2   3/2   4/2   ...

1/3   2/3   3/3   4/3   ...

1/4   2/4   3/4   4/4   ...

...   ...   ...   ...   ...

Näin järjestetystä rationaalilukujen taulukosta voidaan nyt kaikki rationaaliluvut luetella järjestyksessä kulkien diagonaaleja pitkin:

  1,  2,  1/2,  1/3,  3,  4,  3/2,  2/3,  1/4, ...

Jonossa jokainen positiivinen rationaaliluku esiintyy täsmälleen yhden kerran (eri kirjoitusmuodot otetaan mukaan vain kerran siten esimerkiksi 2/2 ei näy jonossa, koska se on jo muodossa 1 mukana) ja näin voidaan asettaa yksikäsitteinen vastaavuus rationaalilukujen joukon ja luonnollisten lukujen joukon välillä:

 (0 - 1, 1 - 2, 2 - 1/2, 3 - 1/3, 4 -3, 5 - 4, 6 - 3/2, ...).

Siten rationaalilukujen joukko on numeroituva (ja kansankielisesti voisi sanoa, että joukoissa on yhtä paljon alkioita).

Tämän tuloksen todisti ensimmäisenä Georg Cantor 1870-luvulla.

(Kuva: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/1/17/Georg_Cantor.jpg)

Irrationaaliluvuista

Luvut, joita ei voida esittää murtolukumuodossa kahden kokonaisluvun osamääränä, ovat irrationaalilukuja. Irrationaalilukujen joukko on mahtavampi kuin rationaalilukujen joukko (irrationaalilukuja on "enemmän"). Palaan tähän aiheeseen vielä myöhemmin. Irrationaalilukujen joukko voidaan vielä jakaa kahteen osajoukkoon: algebralliset ja transsendenttiset (myös transkendenttiset) luvut (katso tarkemmin http://users.utu.fi/mijmatt/koulu/aine3.pdf ).

Algebralliset luvut ovat piirrettävissä viivottimella ja harpilla. Oheisessa kuvassa (kuvaa klikkaamalla saat sen suuremmaksi) on esimerkki lukujen √2, √3, √4, ... piirtämisestä. Kuvan kolmiot ovat suorakulmaisia kolmioita, siniset janat ovat kaikki ykkösen mittaisia, punaiset järjestyksessä edellä mainittuja neliöjuuria.

Luvut π ja e ovat transsendenttisia, joten niitä ei voida konstruoida harppia ja viivotinta käyttäen.