Matematiikan historiassa 8. heinäkuuta

Vuonna 1706 heinäkuun 8. päivänä Abraham de Moivre, ranskalainen matemaatikko, kirjoitti Johann Bernoullille kertoen hänelle John Machinin sarjasta π:lle ja ehdotti, että Bernoulli kertoisi edelleen Jakob Hermannille Machinin todistamattomasta tuloksesta. Bernoulli teki näin ja pian Hermann löysikin todistuksen sille, että sarja todellakin suppenee kohti π:tä. Hän kehitti tekniikan, joka osoittaa muidenkin samantyyppisten suppenevan nopeasti kohti π:tä, ja kirjoitti 21. elokuuta 1706 Leibnizille esittäen toistuksen yksityiskohdat.

Kaksi vuotta myöhemmin de Moivre kirjoitti jälleen Bernoullille Machinin srajasta antaen suppenemiselle kaksi eri todistusta. Sarjakehitelmä voidaan esittää muodossa

joka seuraa siitä, että on osoitettu todeksi tulos

de Moivren kuva: Wikipedia

Mielenkiintoinen yhteys

Kun tiedät päättymättömän geometrisen sarjan perusteella, että

niin samalla tiedät välittömästi, että


Tämän voi perustella seuraavasti: Jos -1 < x < 1, ja


niin tällöin

Piin likiarvon laskeminen

Edellisessa kirjoituksessa oli vinkkejä &pi :n likiarvon muistamiseen. Herää varmaan kysymys, mistä näitä &pi :n likiarvoja sitten voidaan laskea. Laskemiseen on suuri määrä erilaisia mahdollisuuksia.

Seuraavasta linkistä niitä löytyy jo muutamia kymmeniä:

http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/06/01/01/

Kaavat ovat päättymättömiä sarjoja ja antavat sitä tarkempia likiarvoja mitä useampia termejä sarjoista otetaan mukaan.