Matematiikan historiassa 17. syyskuuta

Vuonna 1826 syyskuun 17. päivänä syntyi Hanoverissa, Saksassa kuuluisa matemaatikko Bernhard Riemann. Parhaiten hänet muistetaan Riemannin integraalista. Hänen opettajiaan olivat mm. Eisenstein, Dirichlet, ja Gauss.

Riemannin työt vaikuttivat vahvasti geometriaan ja analyysiin. Lisäksi hänen ideoillaan avaruuden geometriasta oli perustavaa laatua olevat vaikutukset moderniin teoreettiseen fysiikkaan ja ne loivat pohjan käsitteille ja menetelmille, joita myöhemmin käytettiin suhteellisuusteoriassa.

Riemann kärsi tuberkuloosista ja vietti viimeiset vuotensa Italiassa terveyttään hoitamassa. Hän kuoli 20. päivänä heinäkuuta 1866 Selascassa, Maggiorejärvellä, Italiassa.

Kuva: Wikipedia

Matematiikan historiassa 11. elokuuta

Vuona 1859 Bernhard Riemannista tuli Berliinin Akatemian jäsen, perusteluna hänen 1857 julkaisemansa työ Abelian Functions. Käytäntönä oli, että uudet valitut jäsenet lähettivät esimerkin viimeisimmistä tuloksistaan. Riemann lähetti työn "On the Number of Prime Numbers Less Than a Given Quantity.". Työ sisälsi nykyään hyvin tunnetun Riemannin hypoteesin, jonka mukaan Zeta-funktion ei-triviaalien ratkaisujen reaaliosa on 1/2. Ja tämä oli hänen ainoa lukuteoriasta julkaistu työnsä. Hypoteesin ratkaisu on edelleen avoin ja on yksi nykyäänkin eniten tutituista aiheista.

Kuva: Wikipedia

Matematiikan historiassa 20. heinäkuuta

Vuonna 1866 heinäkuun 20. päivänä kuoli Selascassa, Maggiore-järvellä, Italian ja Sveitsin rajalla, saksalainen matemaatikko Georg Friedrich Bernhard Riemann vain 40-vuotiaana.

Riemann antoi suuren panoksen reaalianalyysiin. Hän määritteli Riemannin integraalin Riemannin summien avulla, kehitti trigonometristen sarjojen teoriaa sarjoilla, jotka eivät ole Fourier-sarjoja, mikä oli ensimmmäinen askel yleisessä funktioteriassa ja tutki Riemann-Liouville differentiaaleja.

Riemann antoi muutamia merkittäviä elementtejä moderniin lukuteoriaan. Yhdessä ainokaisessa lyhyessä julkaisussa (ainoassa, jonka hän teki lukuteorian alueelta) hän esitteli Riemannin zeta-funktion ja esitti sen tärkeyden alklukujen jakautumisen ymmärtämisessä. Hän esitti joukon konjektuureja zeta-funktion ominaisuuksista, joista eräs on kuuluisa Riemannin hypoteesi, joka edelleen on todistamatta. Vaikka hypoteesin kimppuun on käyty todella huippuluokan matemaatikkojen voimin, monet asiantuntijat uskovat että se on vielä satojen vuosien jälkeenkin ratkeamattomien ongelmien joukossa. David Hilbertkin totesi: "Jos olisin heräämässä tuhansien vuosien levon jälkeen, olisi ensimmäinen kysymykseni: Onko Riemannin hypoteesi todistettu?"

Georg Riemann oli tunnustava kristitty, protestanttisen saarnaajan poika, ja hän näki elämänsä matemaatikkona toisena tapana palvella Jumalaa. Elämänsä aikana hän piti tiukasti kiinni kristillisestä uskostaan ja piti sitä elämänsä tärkeimpänä osana. Hänen hautakivessään lukee:

Tässä lepää Jumalan rauhassa

Georg Friedrich Bernhard Riemann

. . .

Niiden, jotka Jumalaa rakastavat, täytyy kaikki asiat tehdä parhaalla mahdollisella tavalla.

Kuva: Wikipedia

Matematiikan historiassa 9. heinäkuuta

Vuonna 1814 heinäkuun 9. päivänä Gauss teki 146:nnen ja samalla viimeisen merkintänsä tieteelliseen päiväkirjaansa. Hän huomasi, että lukuteorian bikvadraattisilla jäännöksillä (liittyy kongruenssin käsitteeseen) ja lemniskaattafunktioilla on yhteys. Tästä on lopulta tullut päiväkirjan kuuluisin merkintä koska se johti niinsanottuun Weilin konjektuuriin. Weilin konjektuuri on ollut merkittävässä osassa Riemannin hypoteesin tutkinnassa ja Andrew Wilesin todistaessa Fermat'n viimeisen lauseen.

Kuva: Wikipedia

Matematiikan historiassa 3. toukokuuta

Toukokuun 3. päivänä vuonna 1934 Henri Lebesgue hyväksyttiin ulkomaalaisena Royal Societyn jäseneksi. Vuodesta 1899 vuoteen 1903 hän opetti Lycee at Nancyssa (paikallinen ala-asteen koulu). Siellä työskennellessän hän kirjoitti kuuluisan tohtorinväitöskirjansa Integrale, longueur, aire, (suom. Integraali, pituus, pinta-ala) joka esitti uuden Riemannin integraalin esitysmuodon.

1800-luvulla Cauchy kehitti viimein raja-arvon täsmällisen määritelmän ja Bernhard Riemann jatkoi idean kehittelyä kehittämällä Riemannin integraalin. Tässä integraalikäsitteessä on ideana täyttää funktion ja koordinaattiakseleiden suuntaisten suorien rajaama alue suorakulmioilla kahdella tavalla: ensiksi siten, että kukin suorakulmio sisältyy kokonaan alueen sisään ja sitten siten, että jokainen alueen piste kuuluu johonkin suorakulmioon. Jos jakoa tihennettäessä rajatta näiden suorakulmiokokoelmien yhteiset pinta-alat yhtyvät, on annettu funktio Riemann-integroituva. Tämä ei toteudu kaikkien funktioiden kohdalla, joten kaikki funktiot eivät ole Riemann-integroituvia.

Lebesgue kehitti uuden menetelmän ratkaistakseen tätä ongelmaa. Kun aiemmat integraalikäsitteet pyrkivät tarkastelemaan integroituvuutta lähtöjoukon perusteella, Lebesguen integraali tarkastelee integroituvuutta maalijoukon perusteella. Lebesguen idea oli ensiksi kehittää integraali niin sanotuille yksinkertaisille funktioille, mitallisille funktioille jotka saavat vain äärellisen monta arvoa. Tällöin monimutkaisempien funktioiden integraalit saadaan approksimoimalla funktioita yksinkertaisilla funktioilla ja ottamalla supremum näiden funktioiden integraaleista.

Lebesguen integraalilla on se ominaisuus, että kaikki Riemann-integroituvat funktiot ovat myös Lebesgue-integroituvia, ja tällaisissa tapauksissa integraalit yhtyvät. On kuitenkin olemassa monia funktioita, joilla on olemassa Lebesguen integraali mutta ei Riemannin integraalia.

Kehittäessään Lebesguen integraalia Lebesgue keksi niin sanotun Lebesguen mitan käsitteen, joka yleistää tietyn välin pituuden käsitteen hyvin suurelle joukkokokoelmalle, mitallisille joukoille. Lebesguen tekniikkaa yhdistää mitat integraalikäsitteeseen voidaan helposti yleistää moniin muihinkin tilanteisiin, ja tätä matematiikan osa-aluetta kutsutaan mittateoriaksi.

Kuva: Wikipedia