Ympyrän neliöinti

Hieman asiaa vanhasta kreikkalaisten päänvaivasta, ympyrän neliöimisestä. Tavoitteena oli siis piirtää geometrisesti neliö, jolla on sama pinta-ala kuin ympyrällä. Tämä tuntuu mahdolliselta esimerkiksi seuraavan ns. Hippokrateen puolikuiden tarkastelun jälkeen.

Lähtökohtana on suorakulmainen kolmio ABC. Kolmion ympäri piirretään hypotenuusan keskipiste keskipisteenä ympyrä ja tämän lisäksi kateetit halkaisijana puoliympyrät AHC ja CJB. Tällöin muodostuvat kuunsirppimäiset varjostetut alueet. Nyt voidaan osoittaa, että noiden kuunsirppien yhteenlaskettu pinta-ala on täsmälleen sama kuin alkuperäisen kolmion pinta-ala.

Merkitään kateettien pituuksia a:lla ja b:llä sekä hypotenuusan pituutta c:llä. Tällöin varjostettujen alojen summa saadaan vähentämällä kateeteilla olevista puoliympyröistä kateettien ja "kuunsirppien" väliin jäävät alueet, joiden suuruus saadaan kun kolmion ympäri piirretyn ympyrän ylemmästä puolikkaasta vähennetään kolmion ala. Siis

missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa siitä, että koska kolmio oli suorakulmainen, Pythagoraan lauseen mukaan jolloin edellisen lausekkeen suluissa oleva kerroin on nolla ja termi supistuu pois.

Näin tuli osoitetuksi, että noiden kaarevien kuunsirppien yhteenlaskettu pinta-ala on täsmälleen suorakulmaisen kolmion pinta-ala. Tämä varmaan on herättänyt toivoa siitä että joku voisi keksiä jonkin vastaavantyyppisen konstruktion, jossa ympyrän pinta-ala voitaisiin osoittaa yhtä suureksi kuin piirretyn neliön pinta-ala.

Matemaatikot yrittivät ratkaista tätä haastavaa ongelmaa yli kahden tuhannen vuoden ajan kunnes Ferdinand von Lindemann vuonna 1882 osoitti tehtävän mahdottomaksi toteuttaa niinsanotusti geometrisesti piirtämällä (= vain harppia ja mitatonta viivoitinta käyttäen). (Kuva Wikimedia Commons)

Toinen saman tyyppinnen ratkaisemattomaksi osoittautunut kreikkalaisten piirtämisongelma oli kulman jakaminen kolmeen yhtäsuureen osaan.