Matematiikan historiassa 3. toukokuuta

Toukokuun 3. päivänä vuonna 1934 Henri Lebesgue hyväksyttiin ulkomaalaisena Royal Societyn jäseneksi. Vuodesta 1899 vuoteen 1903 hän opetti Lycee at Nancyssa (paikallinen ala-asteen koulu). Siellä työskennellessän hän kirjoitti kuuluisan tohtorinväitöskirjansa Integrale, longueur, aire, (suom. Integraali, pituus, pinta-ala) joka esitti uuden Riemannin integraalin esitysmuodon.

1800-luvulla Cauchy kehitti viimein raja-arvon täsmällisen määritelmän ja Bernhard Riemann jatkoi idean kehittelyä kehittämällä Riemannin integraalin. Tässä integraalikäsitteessä on ideana täyttää funktion ja koordinaattiakseleiden suuntaisten suorien rajaama alue suorakulmioilla kahdella tavalla: ensiksi siten, että kukin suorakulmio sisältyy kokonaan alueen sisään ja sitten siten, että jokainen alueen piste kuuluu johonkin suorakulmioon. Jos jakoa tihennettäessä rajatta näiden suorakulmiokokoelmien yhteiset pinta-alat yhtyvät, on annettu funktio Riemann-integroituva. Tämä ei toteudu kaikkien funktioiden kohdalla, joten kaikki funktiot eivät ole Riemann-integroituvia.

Lebesgue kehitti uuden menetelmän ratkaistakseen tätä ongelmaa. Kun aiemmat integraalikäsitteet pyrkivät tarkastelemaan integroituvuutta lähtöjoukon perusteella, Lebesguen integraali tarkastelee integroituvuutta maalijoukon perusteella. Lebesguen idea oli ensiksi kehittää integraali niin sanotuille yksinkertaisille funktioille, mitallisille funktioille jotka saavat vain äärellisen monta arvoa. Tällöin monimutkaisempien funktioiden integraalit saadaan approksimoimalla funktioita yksinkertaisilla funktioilla ja ottamalla supremum näiden funktioiden integraaleista.

Lebesguen integraalilla on se ominaisuus, että kaikki Riemann-integroituvat funktiot ovat myös Lebesgue-integroituvia, ja tällaisissa tapauksissa integraalit yhtyvät. On kuitenkin olemassa monia funktioita, joilla on olemassa Lebesguen integraali mutta ei Riemannin integraalia.

Kehittäessään Lebesguen integraalia Lebesgue keksi niin sanotun Lebesguen mitan käsitteen, joka yleistää tietyn välin pituuden käsitteen hyvin suurelle joukkokokoelmalle, mitallisille joukoille. Lebesguen tekniikkaa yhdistää mitat integraalikäsitteeseen voidaan helposti yleistää moniin muihinkin tilanteisiin, ja tätä matematiikan osa-aluetta kutsutaan mittateoriaksi.

Kuva: Wikipedia