Vaarin saaren tilanne

Niin kuin moni jo varmasti aavisti, majan voi laittaa saarella matkan suhteen minne tahansa. Matka on joka paikasta yhtä pitkä ja yhteensä kuljettu matka on saaren sivun pituus kerrottuna neliöjuurella kolmesta. Mutta mitenkäs tämä osoitetaan?

Tehtävä Vaarilla on saari

Olet tasasivuisen kolmion muotoisella saarella. Päivittäin sinun on käytävä saaren jokaisella kolmella rannalla. Mihin kohtaan saarta maja P kannattaisi pystyttää, jotta yhteensä kuljettava matka olisi mahdollisimman lyhyt?

Tutkittavaa matematiikasta innostuneille

Taas on ilmestynyt Matematiikan Karnevaalit, nyt jo numero 99. Käy tutkimassa!

http://wildaboutmath.com/2013/06/02/carnival-of-mathematics-99/

Taas uutta alkulukujen rintamalla

Huhtikuun 17. päivänänä 2013 hyvin arvostettu matemaattinen aikakauskirja Annals of Mathematics sai postia kutakuinkin tuntemattomalta Hampshiren yliopiston matemaatikolta Yitang Zhangilta. Kirjoittaja oli saavuttanut huiman tuloksen alkulukujen tutkimiksen maailmassa. Alkulukujen jakautuminen kokonailukujen joukossa on tällä hetkellä yksi aktiivisimmin tutkittavia matematiikan alueita. Usein Annalsin saamat kirjoitukset saavat odottaa kommentteja ja vastauksia pitkäänkin, vuosiakin, mutta nyt kesti vain kolme viikkoa kun Zhang sai jo innostuneen raportin paperistaan.

Zhang on tutkinut niinsanottuja alkulukukaksikoita. Alkulukukaksikoiksi tai -kaksosiksi sanotaan alkulukuja, jotka poikkeavat toisistaaan vain kakkosen verran. On helppoa osoittaa, että alkulukuja voi esiintyä lukujen 2 ja 3 jälkeen vai n kuudella jaollisten lukujen vieressä, esim. 5 ja 7, 11 ja 13, 17 ja 19. Kuitenkaan kaikki kuudella jaollisten vieressä olevat luvut eivät ole alkulukuja, esim. 23 ja (25) tai (119) ja (121). Näiden alkulukukaksikoiden esiintymistiheydestä on ollut toistaiseksi suurinpiirtein yhtävähän tietoa kuin yleensäkin alkulukujen jakaantumisesta. Nyt Zhang on pytynyt osoittamaan, että näiden alkulukukaksikoiden välimatka on korkeintaan 70 miljoonaa. Tulosta pidetään erittäin merkittävänä.

Enemmän asiasta sivulla http://www.wired.com/wiredscience/2013/05/twin-primes/
Kuvassa Yitang Zhang (Kuva: University of Hampshire)

Uusi suuri alkuluku löytyi

Alkulukujen rintamalla on ollut muutaman vuoden hiljaista. Edellinen löytö tehtiin syyskuussa 2008, jolloin löydettiin peräkkäin kaksi "isomusta".

Nyt suurimmaksi tunnetuksi alkuluvuksi nousi 48. ns. Mersennen luku 2^57 885 161 - 1. Tässä luvussa on 17 425 170 numeroa. Luvun suuruudesta saa jonkinlaisen käsityksen, jos ajattellee että kolme numeroa senttimetrille kirjoitettuna luvun pituus on yli 52 km! Luvun löysi University of Central Missourin Curtis Cooper käyttäen GIMPS verkostoa (Great Internet Mersenne Prime Search). Asiasta lisää seuraavassa.

Ympyrän neliöinti

Hieman asiaa vanhasta kreikkalaisten päänvaivasta, ympyrän neliöimisestä. Tavoitteena oli siis piirtää geometrisesti neliö, jolla on sama pinta-ala kuin ympyrällä. Tämä tuntuu mahdolliselta esimerkiksi seuraavan ns. Hippokrateen puolikuiden tarkastelun jälkeen.

Lähtökohtana on suorakulmainen kolmio ABC. Kolmion ympäri piirretään hypotenuusan keskipiste keskipisteenä ympyrä ja tämän lisäksi kateetit halkaisijana puoliympyrät AHC ja CJB. Tällöin muodostuvat kuunsirppimäiset varjostetut alueet. Nyt voidaan osoittaa, että noiden kuunsirppien yhteenlaskettu pinta-ala on täsmälleen sama kuin alkuperäisen kolmion pinta-ala.

Merkitään kateettien pituuksia a:lla ja b:llä sekä hypotenuusan pituutta c:llä. Tällöin varjostettujen alojen summa saadaan vähentämällä kateeteilla olevista puoliympyröistä kateettien ja "kuunsirppien" väliin jäävät alueet, joiden suuruus saadaan kun kolmion ympäri piirretyn ympyrän ylemmästä puolikkaasta vähennetään kolmion ala. Siis

missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa siitä, että koska kolmio oli suorakulmainen, Pythagoraan lauseen mukaan jolloin edellisen lausekkeen suluissa oleva kerroin on nolla ja termi supistuu pois.

Näin tuli osoitetuksi, että noiden kaarevien kuunsirppien yhteenlaskettu pinta-ala on täsmälleen suorakulmaisen kolmion pinta-ala. Tämä varmaan on herättänyt toivoa siitä että joku voisi keksiä jonkin vastaavantyyppisen konstruktion, jossa ympyrän pinta-ala voitaisiin osoittaa yhtä suureksi kuin piirretyn neliön pinta-ala.

Matemaatikot yrittivät ratkaista tätä haastavaa ongelmaa yli kahden tuhannen vuoden ajan kunnes Ferdinand von Lindemann vuonna 1882 osoitti tehtävän mahdottomaksi toteuttaa niinsanotusti geometrisesti piirtämällä (= vain harppia ja mitatonta viivoitinta käyttäen). (Kuva Wikimedia Commons)

Toinen saman tyyppinnen ratkaisemattomaksi osoittautunut kreikkalaisten piirtämisongelma oli kulman jakaminen kolmeen yhtäsuureen osaan.

Uutta kokeilemassa

Blogin lukijoille tiedoksi, että kokeilen tällä hetkellä toistakin alustaa blogin kirjoittamisessa. Tähän olen ryhtynyt siksi, että tuon toisen alustan työkaluja käytän jatkossa varmaan muihinkin tarkoituksiin ja tätä kautta voin harjoitella.

Uuden blogin löydät osoitteesta miekka2.wordpress.com