Vastaus kertaustehtävään

Aikaisemmassa kirjoituksessa http://miekka.blogspot.com/2008/10/kertaustehtv.html esitetyn kertaustehtävänä olleen yhtälön ratkaisut ovat x = 1, x = 2 tai x = 4.

Ratkaisut löytyvät ehdoista
- eksponentti = 0
- kantaluku = 1
- kantaluku = -1 ja eksponentti parillinen

Ehdosta eksponentti = 0 saadaan ehdolle myös x = 3, mutta tämä joudutaan hylkäämään, koska

ei ole määritelty.

Matemaatikkojen hupia

Miksi amerikkalaisten matemaatikkojen mielestä Halloween ja Joulu omat samana päivänä?

Koska 31 Oct = 25 Dec :)

Kertaustehtävä

"Maailmalla" seikkaillessa tuli vastaan ihan mukava tehtävä, vaikkapa abeille kertaustehtäväksi:

.

Millaisia ratkaisuja löytyy?

This investigation (activity, problem) was authored by Dave Marain

Tämän teosteoksen käyttöoikeutta koskee Creative Commons Nimeä-Epäkaupallinen-Tarttuva 3.0 Muokkaamaton-lisenssi.

Kertolaskua toisin ajatellen

.












Kertolaskua voit suorittaa myös seuraavasti (ajatellaan, että halutaan laskea 5 * 6):
1. Piirrä paraabeli

2. Valitse käyrältä pisteet, joiden x-koordinaatit ovat kertolaskusi tulontekijöinä, siis x = 5 ja x = 6
3. Piirrä suora merkitsemiesi pisteiden kautta.
4. Suoran ja y-akselin leikkauspiste antaa tulon arvon vastaluvun (nyt siis -30). (Kuva suurenee klikkaamalla).

Kuvassa on piirretty tulon 5 * 6 ja -5 * 6 laskemiseen liittyvät suorat.

Löysin tällaisen "tempun" ilman perusteluja netistä sattumalta. Miksi tämä toimii ja onko tämä yleispätevä? Todistaminenhan on lopulta puhdasta analyyttistä geometriaa:

Oletetaan, että halutaan laskea tulo

Parabelilta valitaan siis pisteet

ja koska pisteet ovat paraabelilla, on voimassa


Pisteiden kautta kulkevan suoran yhtälö on silloin

josta välivaiheittain sievennellen saadaan




Nyt y-akselin leikkauspisteessä x = 0. Sijoittamalla tämä edellä muokattuun yhtälöön, saadaan

ja kun edellä jo todettiin, että

niin lopulta
.
M.O.T.

Lukuteoreettikkojen "tuttavia"

Olen jo useissa yhteyksissä todennut (esim. http://miekka.blogspot.com/2008/05/lukuteorian-saralta.html), että lukuteoreetikot tuntuvat tietävän käsittämättömän paljon erikoista meille jokapäiväisistä luvuista. Nyt löysin yhden tällaisen opiskelun aarreaitan. Käyppä vilkaisemassa http://www.stetson.edu/~efriedma/numbers.html. Kun vielä malttaa käydä katsomassa siellä lukujen perässä olevien selitysten linkit, on saanut aikamoisen tietomäärän.

Suurista luvuista

Syyskuun 29 kirjoitin uusista suurista alkuluvuista http://miekka.blogspot.com/2008/09/kaksi-uutta-mersennen-alkulukua.html. Sen jälkeen on välitunneilla syntynyt keskustelua kuinka suuria nuo luvut oikein ovat. Laskin, että jos ne kirjoitettaisiin pienellä käsialalla (2 mm/numero), suuremmalle luvulle kertyisi kirjoitettuna pituutta yli 25 kilometriä!!!

Muita viikolla esille nousseita suuria lukuja:

Googol on luku, jonka alussa on numero 1 ja sitä seuraa sata nollaa, eli

Nimen luvulle antoi Edward Kasnerin (matematiikan tohtori ja kirjailija) yhdeksänvuotias veljenpoika Milton.

Veljenpoika nimesi myös toisen "jättiläisen": Googolpleks, joka on

siis luku, joka alkaa ykkösellä ja jota seuraa googol nollaa. Veljenpojan "täsmällisempi" määritelmä googolpleksille oli: "Alussa on ykkönen ja sen perään kirjoitetaan niin monta nollaa kuin pystyy kirjoittamaan ennen kuin käsi väsyy."

Mietteitä

"A mathematician who is not also something of a poet will never be a complete mathematician."

- Karl Weierstrass

Tuon runoilun tilalle mielestäni sopii kyllä jokin muukin herkkä taiteen muoto, muta jotakin taiteellista todella täytyy olla!

Fields - matematiikan Nobel

Näinä päivinä on taas mielenkiinnolla seurattu vuotuisten Nobel-palkintojen julkistamisia. Ja on ollut hienoa olla suomalainen! Mutta missä viipyy tieto matematiikan Nobelistista? Nobel-palkinnot jaetaan Alfred Nobelin tahdon mukaisesti (vuodesta 1901 lähtien) fysiikkassa, kemiassa, lääketieteessä, kirjallisuudessa. Myöhemmin sarjaan on liitetty vielä rauhanpalkinto ja taloustieteen palkinto. Matematiikka siis puuttuu joukosta. Matematiikan Nobel-palkintona pidetään joka neljäs vuosi jaettavaa Fieldsin mitalia. Palkinto on perustettu kanadalaisen John Charles Fieldsin kehotuksesta. Mitalia on jaettu vuodesta 1936 alken 2 - 4:lle huippuansioituneelle matemaatikolle. Mitalia seuraa tällä hetkellä 10 550 euron suuruinen rahapalkinto. Palkinnon saajan on oltava alle 40 -vuotias. Suomalaisista Fieldsin mitalin on saanut Lars Ahlfors 1936 analyysin tutkimuksista. Mitalia säilytetään Helsingin yliopiston Exactum-rakennuksen aulassa uudella Kumpulan kampuksella. Viimeisimmistä myönnetyistä mitaleista on ehkä näkyvimmin esille noussut venäläinen Grigori Perelman, joka kahdeksan vuoden erakkona elämisen jälkeen esitti todistuksen niin sanotulle Poincaren otaksumalle. Tätä on pidetty yhtenä viime vuosien merkittävimmistä matematiikan saavutuksista. Erakkoluonteinen Perelman kuitenkin kieltäytyi mitalista eikä saapunut vastaanottamaan palkintoaan. Kuvan osoite http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/FieldsMedalFront.jpg/150px-FieldsMedalFront.jpg ja kuvaan kuuluu teksti 'Transire suum pectus mundoque potiri' ('Ylittää sielunsa ja ymmärtää maailma') Arvostetuista matematiikan palkinnoista lisää http://www.mathunion.org/medals/

Sykloidi

Sykloidi on käyrä, joka syntyy ympyrällä olevan pisteen piirtämänä kun ympyrä vierii suoraa pitkin. Käyrän nimesi Galilei 1599. Hän pyrki löytämään sykloidin rajoittaman alueen alan leikkaamalla ja punnitsemalla metallilevystä sykloidin muotoisia kappaleita. Torricelli, Fermat, ja Descartes kaikki saivat myös johdettua alan kaavan. Sykloidia tutkivat myös Roberval 1634, Wren 1658 , Huyghens 1673 ja Johann Bernoulli 1696. Roberval ja Wren löysivät myös sykloidin kaaren pituuden. Kun aiheessa oli monta tutkijaa, syntyi myös kiistoja siitä kuka mitäkin on löytänyt ja siksi sykloidia nimitetään myös Geometrian Helenaksi (vrt. taru Troijan Helenasta). Sykloidista on löydetty muunmuassa seuraavat ominaisuudet: &bull Sykloidin kaaren pituus on neljä kertaa vierivän ympyrän halkaisija. Erityisen huomattavaa on, että pituus ei riipu luvusta &pi . &bull Sykloidin kaaren rajoittama ala on kolme kertaa niin suuri kuin ympyrän ala. &bull Kun poikkileikkaukseltaan sykloidin muotoisen astian pohjalle vieritetään kuula, sen pohjalle laskeutumisen aika ei riipu pisteestä, josta kuula lasketaan irti. Sykloidin yhtälö parametrimuodossa on x = r(t - sint) y = r(1 - cost) missä t on reaalinen parametri ja rt on vierivän ympyrän keskipisteen x-koordinaatti. Havainnollisen kuvan sykloidin muodostumisesta saat sivulta http://matta.hut.fi/mattafi/livegr3d/sykloidi.html

Piin likiarvon laskeminen

Edellisessa kirjoituksessa oli vinkkejä &pi :n likiarvon muistamiseen. Herää varmaan kysymys, mistä näitä &pi :n likiarvoja sitten voidaan laskea. Laskemiseen on suuri määrä erilaisia mahdollisuuksia.

Seuraavasta linkistä niitä löytyy jo muutamia kymmeniä:

http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/06/01/01/

Kaavat ovat päättymättömiä sarjoja ja antavat sitä tarkempia likiarvoja mitä useampia termejä sarjoista otetaan mukaan.

Piin likiarvon muistaminen

Luku &pi on kiehtonut ihmismieliä jo kohta 3000 vuotta. Sille on laskettu eri menetelmillä yhä tarkempia ja tarkempia likiarvoja. Jonkinlainen kisailun kohde on ollut myös se, kuinka monta ensimmäistä desimaalia tuosta likiarvosta pystyy toistamaan. Eräs keino noiden numeroiden muistamiseen on ollut kehittää erilaisia loruja, joissa esiintyvien sanojen pituus kertoo aina seuraavan desimaalin.

Tiede -lehti julisti piiruno -kilpailun (Tiede 7/2008) runosta, jonka avulla voisi muistaa 20 - 30 ensimmäistä desimaalia. Nyt kilpailu sai ratkaisunsa ja voittajaksi valittiin Pasi Lehtolan ruono, joka kattaa 30 desimaalia (3,141592653589793238462643383279):

Pii, r sekä A iltaa istumassa
ei tullut vielä ole neliö
Juttunsa kiertävät taaskin ympyrässä
Oli se eri näköinen eliö
pyöreä ja pullea koko ala
Voi mahdoton työ on ympyrän neliöinti

Vastauksena kilpailuun oli tullut iso joukko muitakin hienoja "muistisääntöjä". Ne löytyvät oheisesta linkistä: www.tiede.fi/lehti/piirunot

Luku 99

* Luku 99 on suurin luku, joka on yhtäsuuri kuin numeroittensa summan ja numeroittensa tulon summa: 9 + 9 + 9 * 9 = 99.

* Luku 99 on Kaprekarin luku (vrt.  kirjoitus Kaprekarin vakio 30.09.2008):
Oletetaan, että meillä on n-numeroinen luku k. Korotetaan k luku toiseen, Lasketaan n:n oikeanpuoleisimman ja  n:n vasemmanpuoleisimman numeroin summa. Jos summa on k, niin lukua k sanotaan Kaprekarin luvuksi.

99^2 = 9801
98 + 01 = 99.

Ensimmäisiä Kaprekarin lukuja ovat 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, ...

Pienin positiivinen kokonaisluku, jota Google ei löydä

Tarkkailtuani noiden kirjoitusteni tiimoilta kansainvälisiä matematiikan sivuja ja blogeissa käytäviä keskusteluja, olen huomannut, että useammassa paikassa ollaan nyt kiinnostuneita siitä, mikä on pienin positiivinen kokonailuku, josta Google ei ole kuullutkaan. Juttu lähti liikkeelle Arkansasin yliopiston podcastista. (http://mathfactor.uark.edu/)

Muutamia kokeiluja
* luku 10 antoi 14 250 000 000 osumaa
* luku 35673 antoi 299 000 osumaa
* luku 568906 antoi vielä 6420 osumaa

Kuten arvata saattaa, löytyy kyllä helposti sellainen luku, jota Google ei löydä. Esimerkiksi ennen tämän kirjoittamista Google ei tunnistanut lukua 568906123456789 (mutta tämän kirjoittamisen jälkeen tietysti tuntee :) ) Pienimmän sellaisen luvun löytäminen onkin eri juttu!

Löydätkö paremman ehdotuksen? Jos niin, niin älä lähetä sitä kommenttina kertoen suoraan mikä tuo luku on vaan lähetä muodossa, jota Google ei pysty tunnistamaan, muutenhan tuo ennätysluku "tuhoutuu". Klassikkalaisille pidän tätä kilpailuna. Pienin luku palkitaan, vastausaikaa lokakuun loppuun saakka. Kommentteja odotellen.

Luku 141

Luku 141 on ensimmäinen kahdeksasta peräkkäisestä luvusta, joista jokaisella on täsmälleen kaksi alkulukutekijää.


Cullenin luvut ovat muotoa

Ne ovat alkulukuja n:n arvoilla 1, 141, 4713, 5795, 6611 ja 18496 ja yhdistettyjä lukuja kaikilla muilla n:n arvoilla, jotka ovat pienempiä kuin 30 000.