torstai 4. joulukuuta 2008

Ratkaisu lukuteorian tehtävään

Tehtävä on edellisessä blogikirjoituksessani http://miekka.blogspot.com/2008/11/tehtv.html

Olkoon a ja b positiivisia kokonaislukuja ja p alkuluku.

Tällöin siis on oltava
(a^{2}+b)-(b^{2}+a)=p
Muokkaamalla yhtälön vasenta puolta saadaan
(a^{2}+b)-(b^{2}+a)=a^{2}+b-b^{2}-a
=(a^{2}-b^{2})-(a-b)=(a+b)(a-b)-(a-b)
=(a-b)(a+b-1)=p.

Siis alkuluku p on esitetty kahden kokonailuvun tulona! Alkuluku on jaollinen vain itsellään ja ykkösellä. Siten on oltava
\begin{cases} a-b=1 & \\\ a+b-1=p& \ \end{cases}

Ratkaisemalla ylemmästä yhtälöstä a = b + 1 ja sijoittamalla alempaan saadaan

b + 1 + b - 1 = p

ts.

2b = p,

josta nähdään, että alkuluku p on parillinen. Ainut parillinen alkuluku on 2. Siten p = 2, josta 2b = 2 ja edelleen b = 1 ja a = b + 1 = 2.

Siis vaaditut luvut ovat a = 2 ja b = 1.
Lähettänyt klo
Tunnisteet: ,

Ei kommentteja:

Lähetä kommentti

Tilaa: Lähetä kommentteja (Atom)