Ympyrän neliöinti

Hieman asiaa vanhasta kreikkalaisten päänvaivasta, ympyrän neliöimisestä. Tavoitteena oli siis piirtää geometrisesti neliö, jolla on sama pinta-ala kuin ympyrällä. Tämä tuntuu mahdolliselta esimerkiksi seuraavan ns. Hippokrateen puolikuiden tarkastelun jälkeen.

Lähtökohtana on suorakulmainen kolmio ABC. Kolmion ympäri piirretään hypotenuusan keskipiste keskipisteenä ympyrä ja tämän lisäksi kateetit halkaisijana puoliympyrät AHC ja CJB. Tällöin muodostuvat kuunsirppimäiset varjostetut alueet. Nyt voidaan osoittaa, että noiden kuunsirppien yhteenlaskettu pinta-ala on täsmälleen sama kuin alkuperäisen kolmion pinta-ala.

Merkitään kateettien pituuksia a:lla ja b:llä sekä hypotenuusan pituutta c:llä. Tällöin varjostettujen alojen summa saadaan vähentämällä kateeteilla olevista puoliympyröistä kateettien ja "kuunsirppien" väliin jäävät alueet, joiden suuruus saadaan kun kolmion ympäri piirretyn ympyrän ylemmästä puolikkaasta vähennetään kolmion ala. Siis

missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa siitä, että koska kolmio oli suorakulmainen, Pythagoraan lauseen mukaan jolloin edellisen lausekkeen suluissa oleva kerroin on nolla ja termi supistuu pois.

Näin tuli osoitetuksi, että noiden kaarevien kuunsirppien yhteenlaskettu pinta-ala on täsmälleen suorakulmaisen kolmion pinta-ala. Tämä varmaan on herättänyt toivoa siitä että joku voisi keksiä jonkin vastaavantyyppisen konstruktion, jossa ympyrän pinta-ala voitaisiin osoittaa yhtä suureksi kuin piirretyn neliön pinta-ala.

Matemaatikot yrittivät ratkaista tätä haastavaa ongelmaa yli kahden tuhannen vuoden ajan kunnes Ferdinand von Lindemann vuonna 1882 osoitti tehtävän mahdottomaksi toteuttaa niinsanotusti geometrisesti piirtämällä (= vain harppia ja mitatonta viivoitinta käyttäen). (Kuva Wikimedia Commons)

Toinen saman tyyppinnen ratkaisemattomaksi osoittautunut kreikkalaisten piirtämisongelma oli kulman jakaminen kolmeen yhtäsuureen osaan.

Uutta kokeilemassa

Blogin lukijoille tiedoksi, että kokeilen tällä hetkellä toistakin alustaa blogin kirjoittamisessa. Tähän olen ryhtynyt siksi, että tuon toisen alustan työkaluja käytän jatkossa varmaan muihinkin tarkoituksiin ja tätä kautta voin harjoitella.

Uuden blogin löydät osoitteesta miekka2.wordpress.com

Ahmas

Viime viikolla kyselin, miten nimi Ahmas liittyy matematiikan historiaan. Nytpä selvitystä.

Aloin viimein selailla jo aiemmin mainostamaani matematiikan historian virstanpylväitä esittelevää kirjaa The Math Book. Opin sieltä uuden asian: matematiikan historiassa ensimmäinen nimeltä tunnettu henkilö on Ahmas. Hän kirjoitti ns. Rhindin papyruksen n. 1650 e.a.a. Siis jo tuhat vuotta ennen Pythagorasta!

Papyrus kuvastelee Egyptin matematiikan tasoa tuona aikana. Se sisältää tehtäviä mm. murtoluvuista, aritmetiikasta, algebrasta ja geometriasta.

Papyruksen osti scotti Alexander Henry Rhind 1858 torilta Luxorissa ja vuodesta 1864 lähtien sitä on säilytetty British Museumissa.

Foto By Paul James Cowie (Pjamescowie) [Public domain], via Wikimedia Commons

Viikon kysymys

Miten nimi Ahmes liittyy matematiikan historiaan?

Opetus.tv:n hyvää materiaalia

Jos seuraat tätä blogia lukion matematiikan opiskelijana, suosittelen että käyt tutustumassa Cederbergin Jannen tuottamaan sivustoon, jonka löydät seuraavasta linkistä.

Mukana havainnollista ja täsmällisesti selostettua lukion matematiikkaa, kemiaa fysiikkaa ja biologiaa. Nyt tuoreena asiana MAA7 -kurssista derivaatan käsite. Viimekevään ylioppilaskirjoitusten aikana oli myös ennen näiden kokeiden päivää loistava chatin kautta toiminut "tukiopetus"palvelu. Käyttäkää ihmeessä hyväksenne!

Uusi matematiikan oppikirja syntyi

Viime viikonloppuna 28. - 30.09.2012 syntyi Helsingissä Metropolia-ammattikorkeakoulussa uusi pitkän matematiikan oppikirja. Siis koko kirja yhden viikonlopun aikana. Asialla oli parikymmentä matematiikan osaajaa professorista lukio-opiskelijoihin. Kyseessä on pitkän matematiikan ensimmäisen kurssin, MAA1:n kirja.

Kirja on saatu lopullista kuvistusta vaille valmiiksi tuon viikonlopun aikana ja on tutkittavissa myös netissä. Tuote on ns. avoimen lähdekoodin kirja, vapaasti kaikkien käytettävissä ja omaan tarkoitukseen myös vapaasti muokattavissa.

Kirjaprojektin vetäjä Vesa Linja-aho toteaakin: "Muutaman kuukauden päästä meillä on yhtä hyvää tai parempaa laatua oleva kirja kuin kaupalliset kirjat." Projekttiin osallistuneilla on mielessä jo toisen kurssin kirjan tekeminen.

Kirjaa kannattaa käydä tutkimassa. Ainakin itselleni huomasin siellä käyttöön hyvin sopivia palasia.

Tuotteen tai projektin nimi "Matikka verkosta vapauteen", hieno oivallus!

Tästä kirjaan

Lukemista

Matematiikan 90. karnevaali on ilmestynyt. Ainakin minulle riittää taas lukemista ja tutkimista moneksi illaksi. Kokoelma löytyy sivulta Walking Randomly

ABC -uutisointi jatkuu

Tämä alkaa kohta muistuttaa Twitterin käyttöä, mutta laitanpa kuitenkin asiasta kiinnostuneille tarjolle edelleen tarinaa ABC -konjektuurin ympäriltä. Uusin juttu löytyy tästä.

Matematiikkaa hieman harrastavana ja seuraavana minusta tuntuu hienolta, että kansainvälisestä matematiikan tutkimuksesta pilkahtelee välillä jotakin tavallisen kansalaisenkin näkyviin.

ABC -konjektuurin ympäriltä

Edellisessä kirjoituksessani annoin linkin ABC -konjektuurin pariin. Väittämä on helpon ja selkeän näköinen mutta todella vaikeasti todistettavissa. Nyt tämä konjektuurin ympärillä on oletetun todistamisen myötä ollut enemmän hyörinää.

Uusin löydökseni on konjektuuriin liittyvä peli. Pelin kulku lyhyesti seuraava:

Ensimmäinen pelaaja valitsee kokonaisluvun a ja toinen suuremman kokonaisluvun b niin että niillä ei ole ykköstä suurempaa yhteistä tekijää. Tämän jälkeen lasketaan kaksi lukua: ensiksi luku c, joka on yksinkertaisesti a + b. Toinen luku R saadaan kun kerrotaan keskenään lukujen a, b ja c keskenään erisuuruiset alkulukutekijät (siis kukin esiintyvä alkuluku otetaa täsmälleen kerran).

Nyt jos R on suurempi tai yhtäsuuri kuin c, ensimmäinen pelaaja voittaa ja vastaavasti jos R < c, jälkimmäinen pelaaja voittaa.

Esimerkiksi jos ensimmäinen pelaaja valitsee a = 5 ja toinen b = 9, saadaan, että c = 14 ja R = 5 * 3 * 2 * 7 = 210. Niinpä ensimmäinen pelaaja voittaa. Valinnalla a = 5 ja b = 27 jälkimmäinen pelaaja voittaa.

Nyt erilaisten valintojen antamista ratkaisuista on tehty havainnolisia graafisia esityksiä esimerkiksi seuraavalla sivulla.

Peli sopii alkulukujen harjoitteluun MAA11 -kurssilla.

Uusi saavutus

Japanilainen matemaatikko Shinichi Mochizuki on mahdollisesti pystynyt todistamaan ns. ABC - konjektuurin, joka kertoo alkulukujen välisistä suhteista. Jos tuo 500 -sivuinen todistus osoittautuu oikeaksi, on kyseessä tämän vuosisadan toistaiseksi merkittävin matemaattinen teko. Tällöin esimerkiksi Fermat'n suuri lause olisi suora seuraus tästä konjektuurista!

ABC -konjektuurin esittivät matemaatikot David Masser ja Joseph Oesterle vuonna 1985. Asiasta voit lukea enemmän Live Science -sivulta.

Nyt se on tulossa

Kun olen etsinyt lukiomatematiikkaan soveltuvia iPad-apseja, olen kaivannut GeoGebra -sovellusta. Nyt se on tulossa, projekti on alkanut! Asiasta enemmän seuraavassa.

Matematiikan virtuaaliopetusta

Helsingin yliopisto järjestää alkavana lukuvuotena osan matematiikan opetuksesta virtuaalisena. Se on kaikille avointa ja esimerkiksi lukiolaisetkin voivat siihen osallistua.

Esittelyä, mukana video Calculus:

Esittelyä Analyysin peruskurssista

Tarjolla on siis Calculus I-II sekä Advanced Calculus. Kurssit vastaavat samannimisiä kursseja amerikkalaisissa yliopistoissa ja voidaan hyväksyä suorituksiksi muissa yliopistoissa.

Matematiikkaa Britanniassa

Syyskuun 4. - 9. päivänä Aberdeenessa, Skotlannissa järjestetään suuri British Science Festival, jonka ohjelmassa näyttäisi olevan muutamia mielenkiintoisia seurattavia. Mukana mm. "In tune with mathematics", jossa käydään läpi matematiikan ja musiikin suhdetta aina Pythagoraasta saakka. Ainakin itse kävisin seuraamassa osaa "Turing: the human vs the machine". Ohjelmasta tarkemmin seuraavassa.

(Kuva The Telegraph)

Matematiikan maailmassa tapahtuu

Tällä viikolla Berliinissä on meneillään matemaatikkojen ISMP -symposium (International Symposium of Mathematical Programming). Mitä tuo programming matematiikan yhteydessä tarkoittaa, siitä saa hyvän käsityksen seuraavasta kirjoituksesta.

Joukkojen mahtavuudesta

YouTubesta löytyi hieno luento joukkojen mahtavuudesta. Nyt kun MAA1 -kurssin alussa käydään läpi erilaiset lukujoukot, voi kyseisen videon avulla vihjata vähän joukkojen kokoonkin. Viimeisen vuosisadan huippumatematiikkaa muutamassa minuutissa!

http://www.youtube.com/watch?v=UPA3bwVVzGI&feature=player_embedded

Kirja

Loma-aikana tulee aina vierailtua Helsingissä Akateemisessa Kirjakaupassa ihastelemassa tarjonnan runsautta. Pois ei tahdo malttaa lähteä kun olisi niin monta kirjaa, jotka haluaisi omaan kirjahyllyyn. Nytkin jouduin ostamaan useita kirjoja :)

Parhaana hankintana pidän kirjaa, joka sopii lahjaksi matematiikasta kiinnostuneelle ja kuuluisi jokaisen

matematiikan opettajan hyllyyn. Clifford A Picover: The Math Book, From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. Siinä on noin 520 sivua(ainakin minua) kiinnostavaa lyhyttä kertomusta matematiikan merkittävistä tapahtumista aikajanalla.

Olen säästellyt kirjaa syysiltojen hämäriin hetkiin iltalampun valossa nautiskeltavaksi ja herkuteltavaksi. Suosittelen lämpimästi muillekin. Kirja ei ole edes hinnalla pilattu, osatessani maksoi 21.90€.

Lisää kirjasta seuraavassa.

Matematiikan kauneutta

Matematiikkaa voi tulla vastaan yllättävissä paikoissa ja yllättävissä muodoissa:
http://bit.ly/IMqvxq

Lomalla

Niin on kevään odotettu hiihtolomaviikko takana ja tulevan kouluviikon valmistelu aloitettu. Kirkkaana väikkyy kuitenkin vielä mielessä Ylläksen upeat maisemat ja huikeat hiihtomaastot!

Hienoja tarjouksia!

Suosittelen lukijoille vierailua opetus.tv -sivulla. Siellä on heti aloitussivulla pari erittäin hyvää juttua.

Ensinnäkin huippuluokan ohjelmointikoulutusta nollatasosta lähtien ja ilmaiseksi: udacity.com otsikon alta.

Toiseksi tarjous kevään abeille: kemian yo lähestyy ja opetus.tv: sivulla aukeaa kyselyjä varten chat-ikkuna.

Käykää tutkimassa !!!!!

Palindromipäivä

Olethan huomannut, että tämä päivämäärä muodostaa palindromin. Siis sama teksti etu- ja takaperin luettuna. 21022012.