Rationaaliluvuista

Kahden joukon sanotaan olevan keskenään ekvivalentteja jos ja vain jos niiden välille voidaan määrittää yksikäsitteinen vastaavaavuus. Joukoilla, jotka ovat keskenään ekvivalentteja, on sama kardinaaliluku (joukot ovat yhtä mahtavat (= "yhtäsuuret")). Äärellisten joukkojen mahtavuutta voidaan kuvata yksinkertaisesti luonnolisilla luvuilla. Äärettömien joukkojen kardinaalilukuja sanotaan myös transfiniittiluvuiksi. Luonnollisten lukujen joukon N kardinaalilukua merkitään yleensä merkillä ℵ_o (hebrean kielen kirjain aleph ja alaindeksi nolla). Joukkoa, jolla on tämä sama kardinaliluku, sanotaan numeroituvaksi.

Rationaalilukujen joukko on tiheä. Tällä tarkoitetaan sitä, että kahden eri rationaaliluvun välillä on aina rationaaliluku, itseasiassa kahden rationaaliluvun välillä on aina ääretön määrä rationaalilukuja. Esimerkiksi lukujen 0 ja 1 välillä ovat esimerkiksi rationaaliluvut

    1/2,   2/3,   3/4,   4/5, . . . , n/(n+1), ... ,

lukujen 0 ja 1/2 väillä ovat rationaaliluvut

    1/3,   2/5,   3/7,   4/9, . . . , n/(2n+1), ...,

lukujen 0 ja 1/4 välillä ovat rationaaliluvut

    1/5,   2/9,   3/13,  4/17,. . . , n/(4n+1), ...

ja niin edelleen. Samaan ajatukseen voi päästä myös ajatellen, että kahden mielivaltaisen rationaaliluvun välillä on aina ainakin näiden lukujen keskiarvo, joka on aina rationaaliluku (helposti osoitettavissa).

Tämän jälkeen tuntuu aluksi mahdottomalta ajatella, että luonnollisten lukujen joukko N ja rationaalilukujen joukko Q olisivat yhtä mahtavat. Tämä voidaan kuitenkin osoittaa seuraavasti.

Luodaan taulukko kaikista rationaaliluvuista:

1     2     3     4     ...

1/2   2/2   3/2   4/2   ...

1/3   2/3   3/3   4/3   ...

1/4   2/4   3/4   4/4   ...

...   ...   ...   ...   ...

Näin järjestetystä rationaalilukujen taulukosta voidaan nyt kaikki rationaaliluvut luetella järjestyksessä kulkien diagonaaleja pitkin:

  1,  2,  1/2,  1/3,  3,  4,  3/2,  2/3,  1/4, ...

Jonossa jokainen positiivinen rationaaliluku esiintyy täsmälleen yhden kerran (eri kirjoitusmuodot otetaan mukaan vain kerran siten esimerkiksi 2/2 ei näy jonossa, koska se on jo muodossa 1 mukana) ja näin voidaan asettaa yksikäsitteinen vastaavuus rationaalilukujen joukon ja luonnollisten lukujen joukon välillä:

 (0 - 1, 1 - 2, 2 - 1/2, 3 - 1/3, 4 -3, 5 - 4, 6 - 3/2, ...).

Siten rationaalilukujen joukko on numeroituva (ja kansankielisesti voisi sanoa, että joukoissa on yhtä paljon alkioita).

Tämän tuloksen todisti ensimmäisenä Georg Cantor 1870-luvulla.

(Kuva: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/1/17/Georg_Cantor.jpg)