Vapaus

Lukuvuoden viimeiset kokeet on sitten pidetty, korjattu ja arvioitu, numerot annettu ja arkistoihin syötetty. On aika virkistäytymisen ja levon ja toisenlaisten askareiden. Jää aikaa tutkia tarkemmin tätä tietotekniiikan maailmaa ja nauttia harrastuksista, jotka ovat olleet talven ajan syrjässä.

Jatkan edelleen kirjoittamista tänne. Näin loma-aikana saatan jossakin välissä eksyä matematiikan ulkopuolellekin, pohdiskelemaan muuten maailman menoa.


"Matematiikan syvin olemus on sen vapaus." Georg Cantor

Taas uuden kokeilua

Given a basic linear functional on , we want to write in terms of the . So let’s evaluate it on a generic basis vector and see what we get. The formula above shows us that

Jos tuo siirtyy blogiin vaivattomasti, on löytynyt jälleen yksi hyvä työkalu tähän kirjoitteluun.

(Yllä olevat kaavat liittyvät matriisilaskentaan ja löytyvät sivulta http://unapologetic.wordpress.com/

Uusi kokeilussa oleva ohjelma on Firefoxin lisäosa ScribeFire http://www.scribefire.com/

Vinkki tuohon hienoon ohjelmaan ja moniin muihin nikseihin löytyi osoitteesta http://jaiku.com/channel/vaparetki/presence/33571735

Jälkikirjoitus: Muu näyttää toimivan todella hyvin, mutta nuo matematiikan kaavat, jotka tähän alaan saumattomasti liittyvät, näyttävät tulevan mukaan "omilla ehdoillaan". Niitten taakse näyttää kätkeytyvän LaTeX ja html. Niihinkin on paneuduttava, jotta matematiikan nykyisessä maailmassa voi seikkailla.

Kummastuttaa

Viime viikonvaihteessa kirjoitettiin Sunnuntaisuomalaisessa ja Savon Sanomissa isosti huonoista matematiikan taidoista hienosta Pisa-menestyksestä huolimatta. Huoli on todella aiheellinen. Mutta kummastuttaa, ettei syitä nähdä.

Kun aloitin opettajauraani, lukion pitkässä oppimäärässä lukioaikana luettiin kolme kirjaa. Nyt pitkän matematiikan lukijoilla on minimissään 10 kirjaa, useimmilla 13 ja joillakin peräti 15 kirjaa luettavanaan ja oppitunteja lukioaikana käytettävissä vähemman kuin silloin 70- ja 80-lukujen vaihteessa. Tuolloin lukioon valikoitui yleensäkin vain terävin kärki ja heistäkin vain noin kolmannes valitsi pitkän matematiikan. Nyt lukioon tulee hieman yli puolet ikäluokasta ja tästä joukosta yli puolelle yritetään markkinoida pitkä matematiikka. Jos näistä lähtökohdista aloittaen nykyiset matematiikan opettajat saisivat kokonaistuloksena samantasoista joukkoa kuin kolme vuosikymmentä sitten niin olisihan se aivan uskomatonta!

Viikonvaihteen teksteissä käy ilmi, että asiasta kyllä tiedetään, näkyy mm. Ylioppilastuktinolautakunnan entisen puheenjohtajan ja matematiikan jaoksen puheenjohtajan, Aatos Lahtisen puheenvuorossa. Ja kuitenkaan asialle ei näytä tapahtuvan mitään. Mitähän vielä pitää tulla esille ennen kuin nähdään, että matematiikkaa opitaan vain syvällisesti itse harjoittemalla, ei opettajan esittelyillä. Matematiikkaan ei vieläkään ole edes kuninkaalla oikotietä (Aristoteles Aleksanteri Suurelle).

Kuva: http://fi.wikiquote.org/wiki/Aristoteles

Lukuteorian saralta II

Lukuteorian alalla eräs keskeisimpiä tutkimuksen kohteita ovat alkuluvut. Niiden tutkimuksessa ollaan menossa jo käsittämättömän suurissa luvuissa. Mutta lukuteoriassa löytyy varsin mielenkiintoista ja hyvin vaativaa puuhaa jo pienienkin lukujen parissa.

Tiedetään, että lukua 1000 pienemmät luonnolliset luvut, jotka EIVÄT OLE muotoa 9n+4 tai 9n-4, voidaan esittää kolmen kuution summana, toisin sanoen jos N on kyseistä muotoa oleva luonnollinen luku, niin
N = a³ + b³ + c³ ,

missä a, b ja c ovat kokonaislukuja (voivat olla positiivisia tai negatiivisia).

Esimerkiksi 6 = (-1)³ + (-1)³ + 2³.

Nyt pienin tarkasteltavaa muotoa oleva luku, jolle tätä esitystä ei ole vielä löydetty on 33. Nyt vaan etsimään sopiva yhdistelmä ja sitä kautta maailman maineeseen!

Pieni varoituksen sana: esimerkiksi luvulle 30 kehitelmä on

30 = (-283059965)³ + (-2218888517)³ + 2220422932³ .

Lukuteorian saralta

Elämäntyönään lukuteoriaa tutkineille luvut eivät ole mitä tahansa satunnaisia olioita, nimettömiä hahmoja harmaassa massassa vaan kuten läheisiä tuttuja, joilla on omat hahmonsa ja oikkunsakin. Heillä on muistissaan käsittämätön määrä lukuja koskevia erityispiirteitä, joista meillä maallikoilla ei ole aavistustakaan. Tästä kertoo kuvaavasti eräs hyvin tunnettu anekdootti Englannista. Alunperin intialainen, tarumaisessa maineessa oleva matemaatikko Srinivasa Ramanujan oli joutunut sairaalaan. Toinen aikansa legenda, englantilainen G.H. Hardy tuli vierailulle. Tullessaan hän totesi: "Taksini numero oli 1729. Minusta se vaikutti varsin tylsältä luvulta." Ramanujan vastasi: "Ei, Hardy! Ei, Hardy! Se on erittäin mielenkiintoinen luku. Se on pienin luku, joka voidaan ilmaista kahden kuution summana kahdella tavalla!"
(Kuva:http://www.aarongershfieldnewyork.com/wiki
/wiki.php?wiki=Srinivasa_Ramanujan)

Matematiikan kauneutta

Matematiikan kaavojen todistaminen on nykyään yleensä hyvin mekaanista, algebrallista. En tunne matematiikan vanhaa historiaa niin hyvin, että tietäisin, miten antiikin Kreikassa voitiin tutkia jo lukuteoriaakin hyvin pitkälle, vaikka lukujärjestelmät olivat hankalia. Tapahtuikohan se jotenkin samaan tapaan kuin oheisen linkin sivustoilla (tarkkaile vasenta paneelia) ? Yksinkertaisen kaunista! Upeaa! Ainakin klikkaamalla kuvan yläpuolella olevia kohteista saat näkyviin uusia todistuksia.
http://www.artofproblemsolving.com/

Taulutyöskentelystä

Opettajan taulutyöskentelyn tulee olla aina siistiä, kaikissa olosuhteissa!

Jatkuvuutta

Pythagoraan lause on edelleen yhtä vahva, hieno ja tehokas kuin ensimmäisen todistamisensa päivinä, kaksi ja puoli tuhatta vuotta sitten! Muuttumaton ja ikuisesti tosi.

Kuvassa kuuluisa muistomerkki Samokselta (Kuva:http://www.flickr.com/photos/78495036@N00/275006800/)

Päivän mietelause

Yksi syy siihen, että matematiikkaa arvostetaan erityisen paljon, on että sen lait ovat täysin varmoja ja kiistattomia, mutta muiden tieteiden on oltava tietyllä tavalla kyseenalaistettavissa ja jatkuvassa vaarassa tuhoutua uusien faktojen takia.

-Albert Einstein, Sidelights on Relativity, 1922

Raja-arvoista

Laskiessani raja-arvoja, varsinkin siellä äärettömyydessä, mielessäni ovat usein Plaise Pascalin tutkimukset asiasta kirjassa "Mietteitä". Noissa tulkinnoissa matematiikka ja teologia alkavat olla aika lähellä toisiaan.

Tänään raja-arvojen yhteydessä on mielessä myös rajallaisuus. Muistan edesmennyttä kollegaani Eero Tiihosta ( + 15.05.2004). Hänen muistokseen kukkivat koulun pihassa keltaiset narsissit tänäänkin.

Tuoretta viisautta

Uusimmassa Dimensiossa (3/2008, ilmestyi tänään) Juha Oikkonen, opetettuaan matematiikkaa niin alakoulussa kuin yliopistoissakin, kirjoittaa mm. seuraavaa: "Pienten ja suurten matemaatikoiden puhe on paljon arkisempaa ja luonnollisempaa kuin usein kuvitellaan. Tässä suhteessa matematiikkaan voi joillakin opettajillakin olla oppimista. Matematiikka on niin upea asia, ettei sen upeus edellytä matematiikan nostamista keinotekoiselle jalansijalle."
(Kuva: Yksityiskohta Rafaelin teoksesta Ateenan koulu. Kuvassa Eukleides. Lähde http://fi.wikipedia.org/wiki/Matematiikka )

Aurinkoisella torilla

Hieno auringonpaiste ja kimalteleva suihkulähde, kesä lähestyy! Mitä muuta näet kuvassa kuin palan Kuopion ydintä? Mitä matemaatikko näkee? Vastauksen löydät suihkulähteestä.

Tiede.fi lähetti sinulle uutiset

Matematiikan Abel ryhmäteoreetikoille

Matematiikan Abel-palkinnon 2008 saa John Griggs Thompson Floridan yliopistosta sekä Jacques Tits Collège de Francesta, ilmoitti Norjan tiedeakatemia.

Palkintoraadin mukaan Thompson and Tits ansaitsevat Abelin erityisesti saavutuksistaan modernin ryhmäteorian kehittämisessä.

Norjalaisen matemaatikon Niels Henrik Abelin (1802-1829) muistoksi nimetty Abelin matematiikkapalkinto on arvoltaan kuusi miljoonaa Norjan kruunua eli noin 750 000 euroa. Palkinto myönnettiin nyt viidennen kerran.

Abelia pidetään Fields-mitalin ohella matematiikan "nobelina".

Lisää tietoa Abel-palkintosivulla.

Uutinen on lähetetty osoitteesta http://www.tiede.fi

HUOM! Uutinen on julkaistu 27.03.2008. toim.huom.

Viisi kertaa enemmän, kolme kertaa halvempi?

Ikäpolveni oppi koulussa, että matemaattisten sanontojen pitää olla tarkkoja. Niinpä opimme, että sanonnoilla "sain kaloja kaksi kertaa niin paljon kuin Ville" ja "sain kaloja kaksi kertaa enemmän kuin Ville" on selvä ero: ensimmäisessä tapauksessa kalojeni määrä on kaksinkertainen, jälkimmäisessä kolminketainen Villen kalamäärään verrattuna. Nyt kuitenkin uusimmassa DIMENSIO-lehdessä (2/2008) kerrotaan, että olemme ilmeisesti yhden epätäsmällisesti opetetun ikäjoukon jäseniä. Molemmat ilmaisut tarkoittavat samaa ja ovat hyväksyttäviä. Esitys on niin vakuuttava, että uskottava on. Kuitenkin mielessäni kapinoin, kun tämän mukaan vielä puolta vähemman ja kaksi kertaa vähemmänkin tarkoittavat samaa! Kun matka Helsinkiin maksaa 100€ ja matka Pieksämäelle maksaa kolme kertaa vähemmän niin mikä on matkan hinta? Asiasta tarkempaa tietoa Jukka Kohosen sivulla http://www.cs.helsinki.fi/u/kohonen/suomi/kaksikertaa.html

Tietotekniikan ihmeitä

Alla oleva on taas kokeilu. Kuva on huono, hämärässä kuvattu, mutta tulos muuten! Kuva on kosketusnäytöllä varustetusta laskimesta joka mm integroi ja derivoi. Kuva on otettu "maastossa" ja lähetetty sieltä suoraan kännykällä. Ja muutaman sekunnin kuluttua se oli jo julkaistu täällä blogissa! Aikamoiset mahdollisuudet pikaiseen tiedonjulkistamistarpeeseen.

Tämä on sähköpostiosoitteeseesi lähetetty multimediaviesti

Rantamännikön matematiikkaa

Aikani maisemassa loikoiltuani oli lähdettävä taas liikkeelle. Ja kultainen leikkaus ei jättänyt rauhaan: mitä kaikkea siihen liittyikään luonnossa? Tuossahan se on taas jalkain juuressa: Fibonaccin lukujonot! Jo kolmenkymmenen vuoden ajan olen ohimennen laskeskellut männyn ja kuusenkäpyjen suomukierteitä ja aina niitä on Fibonaccin lukujonon osoittamat määrät. Tämän päivän tulos 8 ja 13. Mistähän se oikein johtuu, pitäisi saada biologeilta selvitys. Varmaan siinä on taustalla jotakin samaa kuin alkuperäisessäkin lukujonon kehittelyssä (ne kaniparit!).

Keväästä nauttimassa

Huikean hieno kevätsää houkutti taas eväsretkelle. Levon ja virkistyksenkin keskellä matemaatikko on aina matemaatikko: rannalla upeassa maisemassa uinaillessa mieleen hiipi ajatus: missähän tuon kuvan kultaisten leikkausten leikkauspiste on? Tietysti siellä minne silmä luonnostaan hakeutuu, tässä tuon saaren vasemman reunan ylpuolella rauhallisessa taivaan sinessä

Uutta oppimassa

Antoisa päivä, taas olen oppinut monta uutta "ihmeellistä asiaa". Olen ennenkin osannut jotenkin hyödyntää RSS-syötteitä, tänään löysin siihenkin uusia ulottuvuuksia. Kyllä kunnollinen elävä HelpDesk on näissä asioissa korvaamaton.

Yllätys

Eipä ollut kovin lupaava tuo alku. Ensimmäisenä iltana kaikki tuntui onnistuvan: pohja jopa mielestäni tyylikäs ja linkkejäkin sain rakennettua. Mutta... Seuraavana aamuna etsimäni Pythagorasvideot eivät olleetkaan YouTube -linkin takana vaan siellä kerrottiin, että tällä käyttäjällä ei ole lainkaan soittolistoja! Nyt ne taas näkyvät, saa nähdä mikä on tilanne huomenna.

Hitaasti liikkeelle

Tästäkö tämä hullutus alkaa? Tarkoitus löytää paikka, johon koota monenlaista tarjolla olevaa materiaalia omaan, kollegojen ja opiskelijoiden käyttöön. Tällaiseen tarvitaan ilmeisesti jokin tämän tyyppinen ympäristö, jokatoimii ikään kuin keskusasemana eri lähteille. lienenkö oivaltanut oikein?