Rantamatematiikkaa

Kun säät ovat olleet niin hienot, on tullut tietysti loikoiltua rannalla :) . Siinä rannalla lueskellessa tuli katseltua maisemia ja mieleen tuli selvittää etäisyys edessä olevaan saareen. Miten sen teet jokamiehen keinoilla kun ei ole kunnon välinettä kulman mittaamiseen? Mutta onnistuuhan se, trigonometrian avulla.

Oheisessa kuvassa (klikaten suuremmaksi) järjestelyt. Tarvitset vain metrimitan, muutamia merkkitikkuja kolmioiden merkitsemiseen ja laskimen, jossa on mukana trigonometriset funktiot.

Pisteet A ja B ovat "omalla rannalla", piste C kohteessa ja x arvioitava matka. Merkitse merkkitikuilla pisteiden A ja B yhteydessä olevat pienemmät kolmiot ja mittaa mitalla sivujen pituudet a, b, c, d, e, f sekä pisteiden A ja B välinen etäisyys g. Loppu on laskemista.

Ensiksi lasketaan pisteissä A ja B olevat kulmat α ja β . Ne saat kosinilauseen mukaan laskimella yhtälöistä

cosα = (a² + c² - b²) / (2ac)

cosβ = (d² + e² - f²) / (2de).

Kun α ja β on laskettu, saat pisteessä C olevan kulman γ kaavasta

γ = 180° - α - β .

Ja lopuksi sinilauseen antama tulos


x = (g * sinα) / sinγ .


Kun vertasin näin saamaani etäisyyttä nykyaikaisen gps:n antamaan tulokseen, huomasin, että aika hienoja tuloksia näinkin voi saada.

Reaaliluvuista

Edellä (11.06.2008) osoitettiin rationaalilukujen joukko numeroituvaksi. Nyt tarkastellaan reaalilukujen joukkoa.

Lause: Välillä 0 < x < 1 oleva reaalilukujen joukko ei ole numeroituva.

Todistetaan tulos epäsuorasti. Tehdään vastaoletus: annetulla välillä olevat reaaliluvut voidaan esittää jonona (a₁, a₂, a_3, a₄, ... ). Jokainen jonon luvuista voidaan esittää päättymättömänä desimaalikehitelmänä. Esimerkiksi rationaaliluku 0,3 voidaan esittää muodossa 0,299999999... . Näin jono voidaan merkitä seuraavasti taulukkona

a1 = 0,n11n12n13 ...
a2 = 0,n21n22n23 ...
a3 = 0,n31n32n33 ...
a4 = 0,n41n42n43 ...
...... ,

missä jokainen symboli n_ij on jokin numeroista 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Nyt vaikka edellä olevaan luetteloon on yritetty listata kaikki mahdolliset reaaliluvut väliltä 0 < x < 1, on olemassa välille kuuluva reaaliluku, joka ei ole listassa. Esimerkiksi luku 0,m₁m₂m₃...

missä esimerkiksi m_k = 3 jos n_kk ≠ 3 ja m_k = 7 jos n_kk = 3 , k saa arvot 1, 2, 3, ... ,n , ... .

Näin muodostettu luku on selvästi nollan ja ykkösen välillä , ja se on erisuuri kuin mikään luvuista a_i, koska se poikkeaa luvusta a₁ ainakin ensimmäisen desimaalin osalta, luvusta a₂ ainakin toisen desimaalin osalta, luvusta a₃ ainakin kolmannen desimaalin osalta jne. Näin ollen vastaoletus, että kaikki välin 0 < x < 1 reaaliluvut voitaisiin listata peräkkäin on väärä ja joukko ei siten ole numeroituva.

Tässä näkymää kirjoittajan yhden työpöydän vierestä. Mukana muunmuassa viisi voimassa olevan OPS:n mukaista pitkän matematiikan kirjasarjaa, Mathematics Teacher -lehtiä, kolme erilaista graafista laskinta.

Tämä on kokeilua omien kuvien tuomisen eri mahdollisuuksista. Nyt tuotu suoraan Picasan kautta, tekstikin kirjoitettu jo siellä. Kuvaa klikkaamalla saat sen suuremmaksi.

Rationaaliluvuista

Kahden joukon sanotaan olevan keskenään ekvivalentteja jos ja vain jos niiden välille voidaan määrittää yksikäsitteinen vastaavaavuus. Joukoilla, jotka ovat keskenään ekvivalentteja, on sama kardinaaliluku (joukot ovat yhtä mahtavat (= "yhtäsuuret")). Äärellisten joukkojen mahtavuutta voidaan kuvata yksinkertaisesti luonnolisilla luvuilla. Äärettömien joukkojen kardinaalilukuja sanotaan myös transfiniittiluvuiksi. Luonnollisten lukujen joukon N kardinaalilukua merkitään yleensä merkillä ℵ_o (hebrean kielen kirjain aleph ja alaindeksi nolla). Joukkoa, jolla on tämä sama kardinaliluku, sanotaan numeroituvaksi.

Rationaalilukujen joukko on tiheä. Tällä tarkoitetaan sitä, että kahden eri rationaaliluvun välillä on aina rationaaliluku, itseasiassa kahden rationaaliluvun välillä on aina ääretön määrä rationaalilukuja. Esimerkiksi lukujen 0 ja 1 välillä ovat esimerkiksi rationaaliluvut

    1/2,   2/3,   3/4,   4/5, . . . , n/(n+1), ... ,

lukujen 0 ja 1/2 väillä ovat rationaaliluvut

    1/3,   2/5,   3/7,   4/9, . . . , n/(2n+1), ...,

lukujen 0 ja 1/4 välillä ovat rationaaliluvut

    1/5,   2/9,   3/13,  4/17,. . . , n/(4n+1), ...

ja niin edelleen. Samaan ajatukseen voi päästä myös ajatellen, että kahden mielivaltaisen rationaaliluvun välillä on aina ainakin näiden lukujen keskiarvo, joka on aina rationaaliluku (helposti osoitettavissa).

Tämän jälkeen tuntuu aluksi mahdottomalta ajatella, että luonnollisten lukujen joukko N ja rationaalilukujen joukko Q olisivat yhtä mahtavat. Tämä voidaan kuitenkin osoittaa seuraavasti.

Luodaan taulukko kaikista rationaaliluvuista:

1     2     3     4     ...

1/2   2/2   3/2   4/2   ...

1/3   2/3   3/3   4/3   ...

1/4   2/4   3/4   4/4   ...

...   ...   ...   ...   ...

Näin järjestetystä rationaalilukujen taulukosta voidaan nyt kaikki rationaaliluvut luetella järjestyksessä kulkien diagonaaleja pitkin:

  1,  2,  1/2,  1/3,  3,  4,  3/2,  2/3,  1/4, ...

Jonossa jokainen positiivinen rationaaliluku esiintyy täsmälleen yhden kerran (eri kirjoitusmuodot otetaan mukaan vain kerran siten esimerkiksi 2/2 ei näy jonossa, koska se on jo muodossa 1 mukana) ja näin voidaan asettaa yksikäsitteinen vastaavuus rationaalilukujen joukon ja luonnollisten lukujen joukon välillä:

 (0 - 1, 1 - 2, 2 - 1/2, 3 - 1/3, 4 -3, 5 - 4, 6 - 3/2, ...).

Siten rationaalilukujen joukko on numeroituva (ja kansankielisesti voisi sanoa, että joukoissa on yhtä paljon alkioita).

Tämän tuloksen todisti ensimmäisenä Georg Cantor 1870-luvulla.

(Kuva: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/1/17/Georg_Cantor.jpg)

Irrationaaliluvuista

Luvut, joita ei voida esittää murtolukumuodossa kahden kokonaisluvun osamääränä, ovat irrationaalilukuja. Irrationaalilukujen joukko on mahtavampi kuin rationaalilukujen joukko (irrationaalilukuja on "enemmän"). Palaan tähän aiheeseen vielä myöhemmin. Irrationaalilukujen joukko voidaan vielä jakaa kahteen osajoukkoon: algebralliset ja transsendenttiset (myös transkendenttiset) luvut (katso tarkemmin http://users.utu.fi/mijmatt/koulu/aine3.pdf ).

Algebralliset luvut ovat piirrettävissä viivottimella ja harpilla. Oheisessa kuvassa (kuvaa klikkaamalla saat sen suuremmaksi) on esimerkki lukujen √2, √3, √4, ... piirtämisestä. Kuvan kolmiot ovat suorakulmaisia kolmioita, siniset janat ovat kaikki ykkösen mittaisia, punaiset järjestyksessä edellä mainittuja neliöjuuria.

Luvut π ja e ovat transsendenttisia, joten niitä ei voida konstruoida harppia ja viivotinta käyttäen.

"Harjoitus"

Fibonaccin lukujonon kaksi ensimmäistä jäsentä ovat molemmat ykkösiä ja siitä eteenpäin jokainen jäsen syntyy kahden edellisen jäsenen summana. Siis

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Mitä tahansa tällä tavoin muodostettua jonoa sanotaan fibonaccimaiseksi jonoksi. Jos valitset kahdeksi ensimmäiseksi luvuksi mitkä tahansa luvut, saat kymmenen ensimmäisen luvun summaksi luvun joka on yksitoista kertaa jonon seitsemäs jäsen. Tehtävä: todista tulos oikeaksi.

Napoleonin lause

Jos kolme tasasivuista kolmiota piirretään minkä tahansa kolmion sivuille ja niiden ympäri piiretään ympyrät, muodostavat kolmioita ympäröivien ympyröiden keskipisteet neljännen tasasivuisen kolmion.





Lisää aiheesta: http://solmu.math.helsinki.fi/1997/2/napoleon.html


"Matematiikan kehitys ja korkea taso liittyvät olennaisesti valtion vaurauteen."

Napoleon

Kuva: http://fi.wikipedia.org/wiki/Kuva:Napoleonbonaparte_coloured_drawing.png

Matematiikan luonteesta

Jotta meillä olisi todellakin mahdollisuus nauttia matematiikasta, olisi aivan ensimmäisenä opittava huomaamaan se, että matematiikka on hurjan paljon muutakin kuin tiukasti rajattu oppiaine koulussa. Jos ajatus jää vain kouluaineen asteelle, muistetaan matematiikka lähinnä vain hankalasti muistettavina kaavoina ja vaikeina koetehtävinä. Mutta matematiikka on ennen kaikkea muuta. Matematiikkaa on kaikki ympärillämme, se on kietoutunut yhteen ympäristömme ja elämämme kanssa. Jopa solurakennetta kuvataan matemattisesti. Kun tämän ensi kertaa oivaltaa, se on huikea tunne, kuin uimaan oppiminen tai pyörällä ajamisen taidon hieno elämys!

"Kaikki uudet löydöt ovat muodoltaan matemaattisia, koska meillä ei ole muuta opastusta saatavilla." Charles Darwin

"Mitään ihmisten tekemää tutkimusta ei voida kutsua oikeaksi tieteeksi, ellei sitä voida esittää matemaattisesti." Leonardo da Vinci