Reaaliluvuista

Edellä (11.06.2008) osoitettiin rationaalilukujen joukko numeroituvaksi. Nyt tarkastellaan reaalilukujen joukkoa.

Lause: Välillä 0 < x < 1 oleva reaalilukujen joukko ei ole numeroituva.

Todistetaan tulos epäsuorasti. Tehdään vastaoletus: annetulla välillä olevat reaaliluvut voidaan esittää jonona (a₁, a₂, a_3, a₄, ... ). Jokainen jonon luvuista voidaan esittää päättymättömänä desimaalikehitelmänä. Esimerkiksi rationaaliluku 0,3 voidaan esittää muodossa 0,299999999... . Näin jono voidaan merkitä seuraavasti taulukkona

a1 = 0,n11n12n13 ...
a2 = 0,n21n22n23 ...
a3 = 0,n31n32n33 ...
a4 = 0,n41n42n43 ...
...... ,

missä jokainen symboli n_ij on jokin numeroista 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Nyt vaikka edellä olevaan luetteloon on yritetty listata kaikki mahdolliset reaaliluvut väliltä 0 < x < 1, on olemassa välille kuuluva reaaliluku, joka ei ole listassa. Esimerkiksi luku 0,m₁m₂m₃...

missä esimerkiksi m_k = 3 jos n_kk ≠ 3 ja m_k = 7 jos n_kk = 3 , k saa arvot 1, 2, 3, ... ,n , ... .

Näin muodostettu luku on selvästi nollan ja ykkösen välillä , ja se on erisuuri kuin mikään luvuista a_i, koska se poikkeaa luvusta a₁ ainakin ensimmäisen desimaalin osalta, luvusta a₂ ainakin toisen desimaalin osalta, luvusta a₃ ainakin kolmannen desimaalin osalta jne. Näin ollen vastaoletus, että kaikki välin 0 < x < 1 reaaliluvut voitaisiin listata peräkkäin on väärä ja joukko ei siten ole numeroituva.