ja
erotus on alkuluku.
Tekstit
3 vuotta sitten
torstai 27. marraskuuta 2008
keskiviikko 26. marraskuuta 2008
Matematiikan kauneudesta
Kun suurilta matemaatikoilta on kysytty, mikä heitä viehättää ja innostaa matematiikassa, vastauksissa usein viitataan matematiikan kauneuteen. Tuo kauneus on monenlaista. On kaavojen kauneutta, vaikkapa Eulerin suurenmoinen yhtälö
jossa yhdistyvät kaikki tärkeimmät matematiikan "luonnonvakiot", on matematiikan kaavoista syntyvien fraktaalien silminnähtävää kauneutta, geometristen, piirtämällä tehtyjen todistusten kauneutta, j.n.e.
Jo vuonna 1954 ranskalainen matemaatikko Hadamard kirjoitti: " ... kauneuden tunne näyttää olevan melkein ainoa käyttökelpoinen väylä matematiikan tutkimisessa." Lausahdusta on pidetty lähinnä anekdoottina ja kauneuden ja totuuden välinen riippuvuus on pysynyt mysteerinä.
Nyt on viimein osoitettu tieteellisesti, että ihmisen kauneuskäsitys ja kauneuden taju on merkittävä tekijä myös matemaattisen ongelmanratkaisun ja todistamisen yhteydessä. Bergenin yliopistossa Norjassa on julkistettu tutkimus (Rolf Reber, Morten Brun ja Karolinen Mitterndorfer, matemaatikkoja ja psykologeja), jossa tätä on tutkittu empiirisesti.
Asiasta tiedotti lehti ScienceDaily marraskuun 24. päivän artikkelissaan "Beauty Is Truth In Mathematical Intuition: First Empirical Evidence" http://www.sciencedaily.com/releases/2008/11/081120073130.htm
jossa yhdistyvät kaikki tärkeimmät matematiikan "luonnonvakiot", on matematiikan kaavoista syntyvien fraktaalien silminnähtävää kauneutta, geometristen, piirtämällä tehtyjen todistusten kauneutta, j.n.e.
Jo vuonna 1954 ranskalainen matemaatikko Hadamard kirjoitti: " ... kauneuden tunne näyttää olevan melkein ainoa käyttökelpoinen väylä matematiikan tutkimisessa." Lausahdusta on pidetty lähinnä anekdoottina ja kauneuden ja totuuden välinen riippuvuus on pysynyt mysteerinä.
Nyt on viimein osoitettu tieteellisesti, että ihmisen kauneuskäsitys ja kauneuden taju on merkittävä tekijä myös matemaattisen ongelmanratkaisun ja todistamisen yhteydessä. Bergenin yliopistossa Norjassa on julkistettu tutkimus (Rolf Reber, Morten Brun ja Karolinen Mitterndorfer, matemaatikkoja ja psykologeja), jossa tätä on tutkittu empiirisesti.
Asiasta tiedotti lehti ScienceDaily marraskuun 24. päivän artikkelissaan "Beauty Is Truth In Mathematical Intuition: First Empirical Evidence" http://www.sciencedaily.com/releases/2008/11/081120073130.htm
maanantai 17. marraskuuta 2008
Kaikkiko vanhaa?
Arjen opetustyössä harhautuu pian itsekin uskomaan, että matematiikan maailmassa ei juuri uutta tapahdu. Iso osa opetettavasta asiasta on kehitetty jo viimeistään 1600-luvulla. Lukiessani kirjaa "Kirjeitä nuorelle matemaatikolle" (ks. http://miekka.blogspot.com/2008/11/lukemista.html), sain jälleen muistutuksen siitä, että koko ajan tapahtuu valtavaa kehitystyötä:
&bull Teoksessa World Directory of Mathematicians (maailman matemaatikot) mainitaan viisikymmentäviisituhatta nimeä ja osoitetta. Nämä kaikki ovat aktiivista tutkimustyötä tekeviä, huippumatemaatikkoja.
&bull Tunnettu aikakauskirja Mathematical Reviews ilmestyy kaksitoista kertaa vuodessa ja esimerkiksi vuoden 2004 numeroissa oli 10 586 sivua. Tämä julkaisu ei koostu artikkeleista vaan artikkeleiden lyhyisä tiivistelmistä. Kullakin julkaisun sivulla on tiivistelmä keskimäärin viidestä artikkelista, joten tuona vuonna julkaistiin tiivistelmä noin 50 000 artikkelista. Artikkelin keskimääräinen pituus on kenties kaksikymmentä sivua. Näin ollen ilmestyy noin miljoona sivua uutta matematiikkaa joka vuosi!
&bull Teoksessa World Directory of Mathematicians (maailman matemaatikot) mainitaan viisikymmentäviisituhatta nimeä ja osoitetta. Nämä kaikki ovat aktiivista tutkimustyötä tekeviä, huippumatemaatikkoja.
&bull Tunnettu aikakauskirja Mathematical Reviews ilmestyy kaksitoista kertaa vuodessa ja esimerkiksi vuoden 2004 numeroissa oli 10 586 sivua. Tämä julkaisu ei koostu artikkeleista vaan artikkeleiden lyhyisä tiivistelmistä. Kullakin julkaisun sivulla on tiivistelmä keskimäärin viidestä artikkelista, joten tuona vuonna julkaistiin tiivistelmä noin 50 000 artikkelista. Artikkelin keskimääräinen pituus on kenties kaksikymmentä sivua. Näin ollen ilmestyy noin miljoona sivua uutta matematiikkaa joka vuosi!
lauantai 15. marraskuuta 2008
Lukemista
Olen kautta aikojen verrannut opettajantyötäni urheiluvalmennukseen. Oppilaille olen kertonut, että pyrin antamaan kaiken apuni ja tietoni, jotta he olisivat huippukunnossa kisoissa, mutta kuten urheilunkin puolella, tärkeää on, että valmennettavan selkä on märkä, ei valmentajan!
Olen viime aikoina lukenut vasta hankkimaani kirjaa "Kirjeitä nuorelle matemaatikolle" (Ian Stewart, Terra Cognita, suom. Juha Pietiläinen). Kirja sopisi mielestäni jokaiselle pitkän matematiikan opiskelijalle lukiossakin, vaikka on tarkoitettu jatko-opiskelijoiksi pyrkiville. Tuolta kirjasta löysin, monien muiden, hienompienkin kohtien lisäksi, uuden sanonnan aikaisemmin käyttämieni jatkoksi:
"Matematiikka ei ole penkkiurheilulaji!"
Olen viime aikoina lukenut vasta hankkimaani kirjaa "Kirjeitä nuorelle matemaatikolle" (Ian Stewart, Terra Cognita, suom. Juha Pietiläinen). Kirja sopisi mielestäni jokaiselle pitkän matematiikan opiskelijalle lukiossakin, vaikka on tarkoitettu jatko-opiskelijoiksi pyrkiville. Tuolta kirjasta löysin, monien muiden, hienompienkin kohtien lisäksi, uuden sanonnan aikaisemmin käyttämieni jatkoksi:
"Matematiikka ei ole penkkiurheilulaji!"
torstai 13. marraskuuta 2008
maanantai 10. marraskuuta 2008
Ratkaisu
Vastaus mietiskelytehtävään http://miekka.blogspot.com/2008/11/mietiskeltvksi.html: valkoisessa laatikossa olevien sinisten kuulien ja sinisessa laatikossa olevien valkoisten kuulien määrät ovat yhtä suuret.
Tämä voidaan todistaa seuraamalla siirtoja vaiheittain:
1. 50 kuulan siirto valkoisesta laatikosta siniseen
- tässä vaiheessa valkoisessa laatikossa 2950 valkoista kuulaa ja sinisessä laatikossa 5000 sinistä ja 50 valkoista
1. 50 kuulan siirto sinisestä valkoiseen laatikkoon
- jos siirtoon lähtee mukaan k sinistä kuulaa, siirtyy samalla 50 - k valkoista. Siirron jälkeen valkoisessa laatikossa 3000 - k valkoista ja k sinistä kuulaa.
2. 100 kuulan siirto valkoisesta siniseen
- jos mukaan lähtee l valkoista kuulaa, on mukana 100 - l sinistä. Siirron jälkeen valkoisessa 3000 - k - l valkoista ja k + l - 100 sinistä ja sinisessä laatikossa 5100 - l sinistä ja k + l valkoista kuulaa.
2. 100 kuulan siirto sinisestä valkoiseen
- jos mukaan lähtee m sinistä, on mukana myös 100 - m valkoista kuulaa. Siirron jälkeen valkoisessa laatikossa on 3100 - k - l - m valkoista ja k + l + m - 100 sinistä ja vastaavasti sinisessä laatikossa on 5100 - l - m sinistä ja k + l + m - 100 valkoista kuulaa.
3. 150 kuulan siirto valkoisesta siniseen
- jos siirtoon lähtee n valkoista kuulaa, mukana on 150 - n sinistä. Siirron jälkeen valkoisessa laatikossa on 3100 - k - l - m - n valkoista ja k + l + m + n - 250 sinistä kuulaa ja sinisessä laatikossa vastaavasti 5250 - l - m - n sinistä ja k + l + m + n - 100 valkoista kuulaa.
3. 150 kuulan siirto sinisestä valkoiseen
jos mukaan lähtee r sinistä kuulaa, siirtyy valkoisia kuulia 150 - r kappaletta. Siirron jälkeen sinisessä laatikossa on 5250 - l - m - n - r sinistä ja k + l + m + n + r- 250 valkoista ja vastaavasti valkoisessa laatikossa on lopussa 3250 - k - l - m - n - r valkoista kuulaa ja k + l + m + n + r - 250 sinistä kuulaa.
Lopputilanteessa valkoisessa olevien sinisten määrä ja sinisessä olevien valkoisten määrä on sama (niin kuin koko prosessin ajan oli kun siirrot molempiin suuntiin oli tehty).
m.o.t.
Tilanteen voisi aavistella jo hyvin pienellä kokeella: ajattele lähtötilanteesta siirrettäväksi yksi pallo peräkkäin molempiin suuntiin ja tarkastele eri mahdollisuuksia!
Tämä voidaan todistaa seuraamalla siirtoja vaiheittain:
1. 50 kuulan siirto valkoisesta laatikosta siniseen
- tässä vaiheessa valkoisessa laatikossa 2950 valkoista kuulaa ja sinisessä laatikossa 5000 sinistä ja 50 valkoista
1. 50 kuulan siirto sinisestä valkoiseen laatikkoon
- jos siirtoon lähtee mukaan k sinistä kuulaa, siirtyy samalla 50 - k valkoista. Siirron jälkeen valkoisessa laatikossa 3000 - k valkoista ja k sinistä kuulaa.
2. 100 kuulan siirto valkoisesta siniseen
- jos mukaan lähtee l valkoista kuulaa, on mukana 100 - l sinistä. Siirron jälkeen valkoisessa 3000 - k - l valkoista ja k + l - 100 sinistä ja sinisessä laatikossa 5100 - l sinistä ja k + l valkoista kuulaa.
2. 100 kuulan siirto sinisestä valkoiseen
- jos mukaan lähtee m sinistä, on mukana myös 100 - m valkoista kuulaa. Siirron jälkeen valkoisessa laatikossa on 3100 - k - l - m valkoista ja k + l + m - 100 sinistä ja vastaavasti sinisessä laatikossa on 5100 - l - m sinistä ja k + l + m - 100 valkoista kuulaa.
3. 150 kuulan siirto valkoisesta siniseen
- jos siirtoon lähtee n valkoista kuulaa, mukana on 150 - n sinistä. Siirron jälkeen valkoisessa laatikossa on 3100 - k - l - m - n valkoista ja k + l + m + n - 250 sinistä kuulaa ja sinisessä laatikossa vastaavasti 5250 - l - m - n sinistä ja k + l + m + n - 100 valkoista kuulaa.
3. 150 kuulan siirto sinisestä valkoiseen
jos mukaan lähtee r sinistä kuulaa, siirtyy valkoisia kuulia 150 - r kappaletta. Siirron jälkeen sinisessä laatikossa on 5250 - l - m - n - r sinistä ja k + l + m + n + r- 250 valkoista ja vastaavasti valkoisessa laatikossa on lopussa 3250 - k - l - m - n - r valkoista kuulaa ja k + l + m + n + r - 250 sinistä kuulaa.
Lopputilanteessa valkoisessa olevien sinisten määrä ja sinisessä olevien valkoisten määrä on sama (niin kuin koko prosessin ajan oli kun siirrot molempiin suuntiin oli tehty).
m.o.t.
Tilanteen voisi aavistella jo hyvin pienellä kokeella: ajattele lähtötilanteesta siirrettäväksi yksi pallo peräkkäin molempiin suuntiin ja tarkastele eri mahdollisuuksia!
LUMA-viikko Klassikassa
Kuopion klassillisessa lukiossa on menossa perinteinen LUMA-viikko (LUMA = luonnontieteet ja matematiikka). Viikkoon on perinteisesti sisältynyt erilaisisa demonstraatioita ja kilpailuja. Tämän vuoden kilpailuihin pääset tutustumaan oheisen linkin kautta: http://www.peda.net/veraja/kuopio/klaslukio/oppiaineet/luma
torstai 6. marraskuuta 2008
Mietiskeltäväksi
Valkoisessa laatikkossa on 3000 valkoista pientä kuulaa ja sinisessä laatikossa 5000 samankokoista sinistä kuulaa. Valkoisesta laatikosta siirretään 50 kuulaa siniseen laatikkoon, sekoitetaan sininen laatikko hyvin ja siirretään siitä summassa otetut 50 kuulaa valkoiseen laatikkoon. Sekoitetaan valkoinen laatikko, siirretään siitä 100 satunnaisesti otettua kuulaa siniseen laatikkoon, sekoitetaan se ja siirretään taas sinisestä laatikosta 100 kuulaa valkoiseen. Seuraavaksi tehdään tämä vielä molempiin suuntiin 150 kuulalla. Onko tämän jälkeen valkoisessa laatikossa enemmän sinisiä kuulia kuin sinisessä laatikossa valkoisia kuulia?
keskiviikko 5. marraskuuta 2008
Uutisia
USA:n vaalit ovat viimein ohi ja tulokset ovat herättäneet yleensä niin jäyhät matemaatikotkin kuvaamaan tunteitaan palstoillaan. Ohessa linkki erääseen blogiin, jossa riemuitaan tuloksesta.
http://mathnotations.blogspot.com/2008/11/from-i-had-dream-to-yes-we-can.html
http://mathnotations.blogspot.com/2008/11/from-i-had-dream-to-yes-we-can.html
Google-kilpailu ratkesi
Klassikka-viikkojen yhteydess toteutettu kisailu http://miekka.blogspot.com/2008/10/pienin-positiivinen-kokonaisluku-jota.html saatettiin päätökseen tänään. Koulun opiskelijoiden osalta voiton vei Albert tuloksella 174 231 064 ja tämän myötä palkintona olleen lahjakortin. Onnea voittajalle ja kiitokset kaikille osanottajille!
Tilaa:
Blogitekstit (Atom)
