Miete

Maailmassa on 10 ihmistyyppiä: ne jotka ymmärtävät binäärilukuja ja ne jotka eivät ymmärrä.

Vähän pohdiskeltavaa: Mikä luku?

Seuraavassa toteamuksia, joista viisi on totta ja viisi epätosia. Jokaisessa parissa on tosi ja epätosi väite. Päättele mitkä ovat tosia, mitkä epätosia ja mikä luku on kyseessä. Kaikki väitteissä esiintyvät luvut ovat luonnollisisa lukuja.

1a. Luvussa on kaksi numeroa
1b. Luku on parillinen

2a. Luvussa on numero 7
2b. Luku on alkuluku

3a. Luku on kahden peräkkäisen parittoman luvun tulo
3b. Luku on  ykkösen verran erästä neliötä suurempi

4a. Luku on 11:llä jaollinen
4b. Luku on ykkösen verran suurempi kuin eräs kuutio

5a. Luku on neliö
5b. Luvussa on kolme numeroa

Mikä luku onkaan kyseessä?

Math Teachers at Play #20

Taas ovat matemaattiset bloggaajat olleet ahkeria, uusi Math Teachers at Play on ilmestynyt. Sieltä löytyy monenlaista ja monentasoista luettavaa ja tutkittavaa. Tutustu osoitteessa http://letsplaymath.wordpress.com/2009/11/20/math-teachers-at-play-20/.

Mukana mm. matemaattisia pulmia, josta esimerkkinä Hassanin hevoset. Siinä voisi olla virkistävää haastetta jatkaa ketjua :) http://blog.tanyakhovanova.com/?p=190

Ja meille opettajille ihan hyviä vinkkejä tunnille: http://blog.mrmeyer.com/?p=5135

Matematiikan karnevaalit #59

Aikaisemmin mainostamani (http://miekka.blogspot.com/2009/08/karnevaalit_30.html) Matematiikan karnevaalit on taas ilmestynyt, vaikka välillä näytti että koko juttu kuolee pois. Onneksi innokkaita riitti uuteen hienoon alkuun. Uusin kokoelma löytyy osoitteesta: http://numberwarrior.wordpress.com/2009/11/06/carnival-of-mathematics-59/

Saapuneissa posteissa on paljon luettavaa ja hauskaakin pohdittavaa. Vaikkapa seuraavassa "mikä ei kuulu joukkoon?" -tehtävässä: http://blog.tanyakhovanova.com/?p=182

Epimenides

Olin syysloman aikaan lomamatkalla Kreetalla ja kun yhdelle päivälle sattui pieni sadekuurokin, poikkesin pienelle katetulle kujalle kreikkalaiselle kahville. Kahvia maistellessa siinä vain totesin vaimolle, että on se kiva kun tuon koulutuksen myötä on hieman oppinut noita kreikan kielen aakkosiakin niin pystyy vähän lukemaan noita kylttejäkin. Ja niin aloin vilkuilla ympärille, mitä kylttejä olisi tarjolla. Tuossahan lukee E - P - I - M - E ... Hyvänen aika, siinähän lukee Epimenides! Olin juuri logiikan kurssilla puhunut Epimenideen paradoksista eli valehtelijan paradoksista.

Kyselin sitten tavernan pitäjältä, tiesikö hän mikä tämä tällainen Epimenides oli, joka oli antanut nimen hänen tavernansa kadulle. Ei ollut aavistusta. Totesi vain, että se on varmaan jonkun miehen nimi. Ja arvaattehan miten siinä käy: opettaja ei osaa olla opettamatta. Ja niin minä pidin kreetalaiselle luentoa kreetalaisesta filosofista!

Edellisen matkan aikana olin jo vieraillut Epimenideen asuinseudulla Festoksen lähellä, paikassa, jossa on kirjoitettuna vanhin eurooppalainen säilynyt lakiteksti kiveen hakattuna.

En muuten osannut olla kokonaan irti työroolista muutenkaan. Yhtenä päivänänä etsin käsiini paikallisen, ei turisteille tarkoitetun, kirjakaupan ja pyysin kauppiasta hakemaan minulle paikalliset lukion matematiikan kirjat. Niitä selatessa kului melkoinen aika ja täytyy sanoa, että ihastuin. Olivat mielestäni upeita matematiikan kirjoja. Jos matkatavaroiden paino olisi sallinut, olisin tuonut ne mukanani, nyt pitää yrittää tilata niitä kun en tyhmyyksissäni älynnyt lähettää niitä sieltä postilähetyksenä.

Ohje

Nyt jakson päättyessä huomaan taas, että kurssiin käytettävä aika on todella lyhyt. Pitäisi muistaa vanha ohje:

Golden rule for math teachers: You must tell the truth, and nothing but the truth, but not the whole truth.


Sitä vaan jotenkin aina haluaisi kertoa kaiken kaikesta!

Lukihäiriö :(

Pahoittelen edellisen kirjoitukseni alkuperäistä virheellisyyttä! Huolettomasti lukien olin nimennyt termin täysin väärin. Asia selvisi, kun ryhdyin selvittelemään itselleni syvemmin jutun taustoja ja määritelmiä. Kun mikään hakukone ei löytänyt vastauksia kysymyksiini, piti tarkistaa tekstiä.

Nyt jutun pitäisi olla kunnossa.

Kongruenttien lukujen täsmällinen määritelmä löytyy linkistä: http://mathworld.wolfram.com/CongruentNumber.html

Kongruentit luvut

Yli tuhat vuotta sitten pohdittiin ongelmaa: millaisilla suorakulmaisilla kolmioilla on pinta-alana kokonaisluku kun sivujen pituudet ovat kokonais- tai murtolukuja? Tällaisia "pinta-aloja" sanotaan kongruenteiksi luvuiksi. Esimerkiksi 6 on kongruentti luku, koska se on sellaisen suorakulmaisen kolmion pinta-ala, jonka sivuina ovat tutut pythagoralaiset luvut 3, 4 ja 5. Ensimmäisenä kongruenttien lukujen ongelmaa tutki täsmällisesti persialainen al-Karaji (n.953 - n.1029), mutta jo Diofantos (n.210 - n.290) tarkasteli samantyyppisiä asioita.
Nyt tietotekniikan ja -koneiden kehittymisen myötä on asissa päästy huimasti eteenpäin. Suurimmat löydetyt luvut ulottuisivat jo paperille kirjoitettuna kuuhun ja takaisin! Asiasta enemmän kiinnostuneille paljon lisätietoa linkissä   http://www.sciencedaily.com/releases/2009/09/090922095651.htm

Math Teachers At Play

Viimeksi (30.09.2009) kirjoitin "Matematiikan karnevaaleista".  Tämän päivän viesti on karnevaalien rinnakkaisjulkaisu Math Teachers At Play. Samoin kuin Karnevaalitkin, tämä ilmestyy ajoittain (noin kerran kuussa) eri boggaajien vuorollaan kokoamana muilta saaduista ja löydetyistä ideoista. Tämä kokoelma keskittyy enemmän leikkimielisiin ja tehtäväkeskeisiin juttuihin. Skaala on todella laaja: aivan lastentarhaikäisille tarkoitetuista harjoitteista lukion päättäville soveltuviin juttuihin. Kokoelmien kirjavuuskin on aikamoinen: joskus tuntuu ettei minulle ole mitään, joskus taas koko aineisto on kiinnostavaa. Tule mukaan seuraamaan. Tämän kerran kokoaja on Maria Miller blogissaan Homeschool Math Blog, juttuun pääset linkistä: http://homeschoolmath.blogspot.com/2009/09/math-teachers-at-play-sep-4-2009.html

"Matematiikan karnevaalit"

Jo toista vuotta olen seurannut ja innolla odottanut seuraavia matematiikan karnevaaleja. Se on hieno matemaattisten blogien kirjoittajien yhteinen aikaansaannos. Kymmenkunta blogin kirjoittajaa huolehtii vuorollaan Carnival of Mathematics -jutun kokoamisesta. Jokainen mukanaolija lähettää oman osuutensa määräaikaan mennessä toimitusvuorossa olijalle ja toimittajalla näyttää olevan täysi vapaus tehdä jutusta omansa näköinen. Kokoelmasta löytyy aineistoa laidasta laitaan: historiaa, lukuteoriaa, ohjelmontia, pelejä, ...  ja monen tasoisenakin. Yleensä kokoaisuudesta löydän monta itseäni kiinnostavaa juttua ja opiskelun kohdetta. Onpa niitä varmaan siirtynyt joku tänne omaan blogiinikin. Tämänkertaisen kokoelman, nro 56, löydät linkistä:  http://stochastix.wordpress.com/2009/08/27/carnival-of-mathematics-56/

3,14159... , entä sitten ?

Tuore  Digitoday -lehti kertoo, että japanilaiset tutkijat ovat laskeneet uuden tarkemman likiarvon &pi :lle. Likiarvossa esiintyvien desimaalien määrä suurinpiirtein kaksinkertaistui edelliseen tarkimpaan likiarvoon verrattuna. Nyt numeroita tunnetaan noin 2577 miljardia. Asiasta lisää seuraavassa: http://www.digitoday.fi/tiede-ja-teknologia/2009/08/20/lisaa-desimaaleja-piihin/200918540/66 .

Lukemista

Käydessäni pikaisesti paikallisessa kirjakaupassa, silmääni sattui uuden näköinen kirja, NUMEROT. En sitä juuri ennättänyt tutkimaan vaan ostin enemmän tai vähemmän summassa. Kotona ostos pajastui löydöksi, ainakin itselleni. Kun matematiikan historia on viime aikoina yhä enenevässä määrin alkanut itseäni kiinnostaa, sain ainakin itselleni maisteltavaa pitkäksi aikaa ja nyt olen tilannut sitä myös koulun kirjastoon. Kirja on aivan uusi, ilmestynyt englanniksi 2008 ja suomennettu nyt 2009. Kirjakaupassa se oli tällä hetkellä tarjouksessa ja hintana 24.95. Suosittelen.

Siis, Numerot, kuinka matematiikka muutti maailmaa, Peter J. Bentley (suomentanut Tommi Uschanov), Ajatuskirjat, Gummerus.

Kirjan takakannen teksti:
Numerot ovat maailmankaikkeutemme ja koko olemassaolomme perusta. Silti suuri osa meistä ymmärtää arjessaan vain vähän matematiikan perusasioista, puhumattakaan lukujen merkityksestä filosofiassa, kuvataiteessa, musiikissa, arkkitehtuurissa, kvanttimekaniikassa, fysiikassa, kaupan alalla, biologiassa, kirjallisuudessa, tietokoneteknologiassa, uskonnossa ja okkultismissa - toisinsanoen kaikessa inhimillisessä tekemisessä.
Numerot valottaa kiehtovalla avalla matemaattisten keksintöjen historiaa mitä erilaisimmilla elämänalueilla. Se myös kertoo keksijöiden tarinan ja heidän löytöjensä merkityksen ihmiskunnalle.

Edelleen Jingistä

Olen edelleen hiljakseen kokeillut Jingiä ja löytänyt siitä monta ominaisuutta, jotka varmaan otan koulukäyttöönkin. Tänään testasin Jingin ja GeoGebran yhteistoimintaa, ja huomasin, että tuolla parilla saan todella helposti hyviä kuvia esim. PedaNetin sivuilleni. Tässä minimaalinen esimerkkikuva:

muistaen tietysti, että Jingillä nuo GeoGebran kuvan muodostamiset saa livenäkin!

Tiedän, että monet meistä kehittelevät kaiken aikaa erilaisia juttuja virtuaaliopetukseen. Tähän antaa hyvän lähtöpanoksen seuraavasta linkistä löytyvä koottu paketti:
http://teachingcollegemath.com/?p=1122

Suoraan Jingiin liittyviä saman tekijän antamia käyttövinkkejä löytyy osoitteesta
http://teachingcollegemath.com/?page_id=594

Jing

Niin kuin kesän alussa totesin, tuskin maltan pitää sormiani erossa tästä kokeilemisesta ja tutkimisesta. Niinpä tässä on nyt eräs kokeilu uudella työkalulla. Jo kauan sitten näin eräällä amerikkalaiselta sivulta maininnan Jing-ohjelmasta, joka olisi kätevä opettajan ja oppilaiden yhteydenpitoväline siksi, että se on helppokäyttöinen ja kaiken lisäksi ilmainen. En saanut sitä silloin Vistassa toimimaan, mutta nyt ongelma on korjautunut ja ohjelma toimii hyvin. Itse asiassa oheinen pieni esimerkki on tehty kevyellä läppärillä.

Ohjelmalla voit ottaa kuvaruudulta still-kuvia ja videokaappauksia. Tuloksia voit tallentaa omalle koneelle, välittää sähköpostina tai tallentaa palvelimelle, josta sitten voit linkittää niitä eteenpäin. Ohjelma soveltuu erinomaisesti esimerkiksi lyhyiden ohjeiden tekemiseen erilaisten ohjelmien käyttämisestä.

Alla oleva esimerkki on nimenomaan esimerkki tuosta Jing-ohjelmasta, matemaattiseen puoleen ei ole kiinnitetty suurta huomiota (sitä pitäisi tarkentaa).



Jing -ohjelman löydät oheisesta linkistä http://www.jingproject.com/

Uusi Mersennen alkuluku vahvistettu

Nyt on sitten vahvistettu uusi tunnettu Mersennen alkuluku. Tämä on 47. löydetty luku ja suuruudeltaan tunnetuista toiseksi suurin.

Luku on muotoa ja siinä on 12837064 numeroa. Asiasta enemmän http://mathworld.wolfram.com/news/2009-06-07/mersenne-47/

Kesälukemista

Kesällä on onneksi aikaa paikata talven aikana syntyneitä "aukkoja sivistyksessä", kuten esimerkiksi lukea kirjoja, joita on huomannut ilmestyneiksi mutta ei ole ennättänyt tutustumaan.

Itselleni tilasin Turun maakuntamuseon julkaisusarjassa ilmestyneen teoksen Tiima, tiu, tynnyri, Miten ennen mitattiin, suomalainen mittasanakirja -teoksen, josta on nyt otettu 5. uudistettu painos. Kirjassa on hienon aakkosellisen sanaston lisäksi historiakatsaus mittaamisen kehityksestä Mesopotamiasta 3000 e.Kr. alkaen. Paljon mielenkiintoista luettavaa.

Tiun vielä juuri ja juuri tunnemme, mutta osaatko sanoa mitä ovat tikkuri, toltti ja kerppo?

Kirjaa on saatavissa esimerkiksi MFKA -kustantamolta, Rautatieläisenkatu 6, Helsinki

Uusi Mersennen alkuluku?

Mahdollisesti seuraava Mersennen alkuluku (47.) on löydetty. Asiasta tiedotettiin 07.06.2009. Odotetaan asian vahvistusta. Asiasta enemmän linkissä http://mathworld.wolfram.com/news/2009-06-07/mersenne-47/

Blogeista

Nyt kesäaikana yhtenä nautinnoistani on blogien seuraaminen. Työkauden aikana niitä ennättää vain vähän syrjäsilmällä vilkuilemaan mutta nyt niihin ennättää syventyä vähän tarkemminkin. Tuossa oman bloginin oikeassa laidassa on osa listaa, jota seuraan. Sieltäkin löytyy paljon mielenkiintoista. Esim. tällä viikola on ollut esillä sosiaalinen oppiminen blogissa dy/dan http://blog.mrmeyer.com/ (, jossa yleensä on ollut tavalliselle matikanopettajalle maanläheisiäkin juttuja). Sitä sosiaalisen oppimisen sarkaa tällä palstalla olen yrittänyt itselleni selvittää ja siihen jotakin ymmärrystä saada ja samalla tutkailla miten se liittyy siihen "oikeaan kouluoppimiseen" ja mitähän sen nykypäivänä pitäisikään olla. Tästä varmaan saataisiin paikallisen kerhonkin puitteissa aikaan kunnon keskustelua.

Paikanmäärittämiseen maapallolla liittyviä tarkasteluja löytyy blogista 360 http://threesixty360.wordpress.com/

(Kuva 03.06.2009 auringon noustessa, lämpötila 0)

Odotettu hetki

Nyt se viimein koittaa: kesäloma! Koeviikko uurastettu, arvioinnit suoritettu, uudet ylioppilaat lakitettu ja onniteltu. Ja kotiin tultua autuaallinen olo!

On aika levätä vuoden uurastuksesta ja kerätä voimia tuleviin. Kesän aikana täällä blogissa saattaa olla hiljaisempaa, mutta tuskinpa maltan kokonaan irti pysyä. Ainakin on tullut haalittua kaikenlaista tekniikkaa kokeiltavaksi (ihan opettamiseen liittyvää). Sen myötä kun kokeilut edistyvät, laitan niitä varmaan tännekin.

Kuvassa odotettu hetki: päivän työt takana ja odottamassa kahvi ja päivän lehdet.

Hyvää kesää kaikille!

Uusi yleiskone?

Viime päivät (silloin kun aikaa kokeiden suunnittelulta on jäänyt) olen tutkaillut ja kokeillut uutta yleisneroa WolframAlphaa. Tutkimista, kokeilemista ja ihmettelemistä riittää useammaksikin päiväksi. Hyvään alkuun pääsee aloitussivulla olevien esimerkkien kautta ja pian keksii jo omaakin kokeiltavaa ja hämmästeltävää.

Kokeile ylimmälle syöttöriville vaikka kotikaupunkisi nimeä ja klikkaa rivin lopussa olevaa yhtäsuuruusmerkkiä.

Tai kirjoita sin(3x - 15) ja klikkaa sitten yhtäsuuruusmerkkiä.

Käy katsomassa!

http://www.wolframalpha.com/

'

Lukuvuosi lähenee loppuaan

"Kevät on kauneimmillaan kun vaahtera kukkii." Näin olen joskus lukeneut jonkun mietelauseessa ja siitä lähtien olen sen näin keväisin huomannut pitävän todella hyvin paikkansa. Nyt viikonloppuna tuo taas konkretisoitui kun huomasin nämä oksat naapurin pihassa (kuvasta klikaten saat ne lähemmäksi).

Tänään tuli sitten pidettyä kevään viimeiset varsinaiset oppitunnitkin, enää jäljellä kertaustunnit, kokeet ja niiden korjaaminen. Urakkaa siinä on vielä aika lailla, neljän ison ryhmän tuotokset vihkoineen!

Oikea titteli?

Olen muutaman päivän ajan koonnut aineistoa esitelmään matematiikan historiasta. Sen myötä olen alkanut miettiä tämän hetken työtäni ja titteliä: matematiikan opettaja. Kyllä lähempänä taitaisi olla historian opettaja! Opetamme asioita, jotka keksittiin ja otettin käyttöön suurimmaksi osaksi jo viimeistään kolmesataa vuotta sitten. Onhan nykypäivän matematiikan tutkimus niin korkealentoista että sen seuraaminen ilman valtavaa kertausta ja lisäkoulutusta on käytännössä itsellekin mahdotonta, kouluopetukseen sen tuomista ei voi edes kuvitella.

Tässä vaiheessa alkaakin sitten jo miettiä uudestaan mitä me matematiikan tunnilla oikeasti opetamme tai ainakin mitä meidän pitäisi opettaa!

Kuva Rafaello: The School of Athens (Wikimedia Commons)

Uutta opettelemassa

Tässä blogin 1-vuotissyntymäpäivän kunniaksi kokeilen, kuinka saisin kohtuullisella tavalla tarvittaessa liitettyä näihin teksteihin myös elävää kuvaa ja kerrontaa. Seuraavassa aivan pieni pätkä oppilaiden avuksi tehdystä tehtävän ratkaisusta. Kuvaa saat suurennettua hiiren oikean korvan näpäyksellä valitsemalla zoom ja koko näyttö. Takaisin normaalikokoon vastaavalla tavalla.

Ja taas kokeneilta kollegoilta toivon saavani teknisiä lisävinkkejä.

Tunnustuksia (Confessiones)

Tänään on Siegmund Freudin syntymäpäivä. Hän on tunnustanut matemaattisista taidoistaan näin:

"I have an infamously low capability for visualizing spatial relationships which made the study of geometry and all subjects derived from it impossible to me."

Olisi sangen mielenkiintoista tutkia vaikkapa Freudin teorioiden valossa, miksi ihmiset aina kuulleessaan että olen matematiikan opettaja, alkavat selittää omia heikkouksiaan matematiikassa, juuri tuohon Freudin tapaan!

(Kuva Wikimedia Commons)

Eräs ratkaisu geometrian tehtävään

Edellä esitin yhden Kenguru-kilpailussa olleen ongelman. http://miekka.blogspot.com/2009/04/geometrian-tehtava.html. Tässä tehtävään eräs ratkaisu.

Oheisessa kuvassa kuvaa on täydennetty siten, että kolmio ABE on suorakulmainen. Merkitään lisäksi EC = x ja CD = DB = a.
Kolmio ADE suorakulmainen kolmio, jonka terävät kulmat ovat 45 ° .
Tällöin

Kolmio ABE on suorakulmainen kolmio, jonka terävät kulmat ovat 30 ° ja 60 ° . Tällöin muistikolmioiden mukaan

Näin ollen

Tästä yhtälöstä saadaan ratkaisemalla

Ja edelleen

Tällöin


jolloin &ang EAC = 15 ° . Näin lopulta &ang CAD = 45 ° - 15 ° = 30 ° .

Matemaatikot

Kyllä kai meillä matemaatikoilla todellakin on takanamme erilainen koulutus kuin insinööreillä ja fyysikoilla. Aina meitä on opetettu hakemaan aukottomia todistuksia ja kaikki mahdollisuudet läpi käyviä ratkaisuja:

A mathematician, a physicist, and an engineer were traveling through Scotland when they saw a black sheep through the window of the train.
"Aha," says the engineer, "I see that Scottish sheep are black."
"Hmm," says the physicist, "You mean that some Scottish sheep are black."
"No," says the mathematician, "All we know is that there is at least one sheep in Scotland, and that at least one side of that one sheep is black!"

Määritelmä

Nyt on meneillään Darwinin juhlavuosi (syntymästä 200 vuotta ja Lajien synty -teoksen ilmestymisestä 150 vuotta). Seuraavassa hänen määritelmänsä matemaatikosta:

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there. (Charles R Darwin)

(Kuva Wicimedia Commons)

Maailma muuttuu Eskoseni

Viime viikolla julkistettiin tutkimustulos, joka sai minut muistelemaan menneitä. Kävin koulua maineikkaassa Iisalmen Lyseossa (sama koulu, josta Keke Rosberg ja Seppo Kääriäinenkin kirjoittivat ylioppilaiksi). Tuolloin joskus tuntui, että koulussa oli luvallista vain viittaaminen. Voimassa oli vielä vuoden 1872 keisarillinen asetus Koulujärjestyksestä kaikessa ankaruudessaan (http://www.hel2.fi/kaumuseo/koulumuseo/koulujarjestys.html). Tuolloin sai monikin luokkatoverini tunnin istumista ja käytöksen alennuksen merkinnällä: purukumin syöminen tunnilla.

Nyt tuo tutkimustulos, johon alussa viittasin, kertoo, että purkan syönnin on havaittu mahdollisesti parantavan matematiikan oppimisen tuloksia. Asiaa on tutkittu Houstonissa, Texasissa. http://in.reuters.com/article/worldNews/idINIndia-39195420090423
(Kuva: Pinnoitus-Pekka Oy)

Pakkolomalla

Niin on sitten vietetty tuo kaupungin talouden säästökeinokseen keksimä pakkoloma. Olin lomautettuna 16. - 22.04.2009 välisen ajan, jolloin opiskelijat etenivät kursseissa itsenäisesti opiskellen. Onneksi lomautuksen ajalle satuivat aivan huikeat kevätsäät. Niinpä oma lomani kului kuntoillessa ja luonnossa liikkumisessa. Sieltä tuo kuvakin (joita loman aikana kertyi melkein sata, niitä vilahtelee tuolla oikean alakulman kuvien joukossa).

Nyt kouluun palaamisen jälkeen olen tiedustellut miten itsenäisten tehtävien suorittaminen sujui. Ja kuten arvata saattaa: osa on saanut tehtyä kaikki tehtävät, osalta työ on ollut aloittamista vaille valmis! Kun tämän lisäksi nyt loppukurssin aikana osa opiskelijoista on Ruotsissa, osa Roomassa ja osa Espanjassa, luulen että tunnin opetustallenteille on käyttöä! Kokeilen, miten saisin siitäkin tänne pätkän näkymään.

Geometrian tehtävä

Kolmiossa ABC jana AD on mediaani. &ang ABC = 30°, &ang ADC = 45° . Laske &ang CAD. Tämä on yksi äskettäisen Kenguru -kilpailun tehtävä. Löysin ratkaisun, mutta omasta mielestäni kiemuraisen. Onko sinulla tehtävään yksinkertaista ratkaisua?

Tässäkö syy?

Olen jo kauan miettinyt, mistä johtuu ainainen kiireeni matematiikan kurssien opettamisessa. Nyt taisi löytyä syy. Vuonna 1916 syntynyt ja 2006 kuollut unkarilais-amerikkalainen matemaatikko Paul Halmos kirjoitti:

Many teachers are concerned about the amount of material they must cover in a course. One cynic suggested a formula: since, he said, students on the average remember only about 40% of what you tell them, the thing to do is to cram into each course 250% of what you hope will stick.

Kollegat, tuntuuko tutulta?

Vuoden 2009 Abel-palkinnon saaja valittu

Venäläis-ranskalainen matemaatikko Mikhail Leonidovich Gromov (65) on nimetty vuoden 2009 Abel-palkinnon (Abel Prize) saajaksi. The Norwegian Academy of Science and Letters on päättänyt palkita Gromovin "hänen vallankumouksellisista artikkeleistaaan geometrian alalta". Abel-palkinto on jaettu vuodesta 2003 lähtien ja on suuruudeltaan 6 000 000 NOK, noin 700 000€. Mikhail L. Gromov saa palkintonsa hänen kuninkaalliselta majestetiltaan, kuningas Haraldilta Oslossa 19. pnä toukokuuta.
Lisää matemaatikosta seuraavassa http://en.wikipedia.org/wiki/Mikhail_Gromov

Osattiinpa ennenkin

Sivustoja ja kirjanmerkkejäni selatessani (näin pakkolomalla ollessani sellaiseenkin ennätän) törmäsin mielnkiintoisiin tehtäviin: matematiikan harjoitustehtäviä vuodelta 1557. Kirja on Robert Recordesin Whetstone of Witte (ensimmäinen englanniksi julkaistu algebran kirja). Tässä ensimmäinen esimerkki suomennettuna.

Kun Aleksanterilta  kysyttiin, kuinka vanha hän on, hän vastasi: "Olen kaksi vuotta vanhempi kuin Ephestio." Ja Ephestio jatkoi: "Ja isäni on yhtä vanha kuin me yhteensä, niin ja vielä neljä vuotta enemmän." Ja Aleksanteri jatkaa vielä: "Ja kaikki nämä iät yhteenlaskettuna tekevät 96 vuotta." Kuinka vanha kukin on ?

Enemmän tehtävistä seuraavassa linkissä: http://joningram.org/blog/2009/03/ten-16th-century-word-problems/

Kuvassa Maria I (yleisesti tunnetaan myös nimellä Maria Tudor), joka oli Englannin hallitsijana kirjan julkaisemisen aikana. (Kuva Wikipedian julkisista kuvista)

Eräs ratkaisu kombinaatio-opin ongelmaan

(Ongelma edellä http://miekka.blogspot.com/2009/04/kombinatoriikan-ongelma.html)

Kyllä Samuli kommentissaan oli aivan oikeassa, jakotapoja kolikoille on kaikkiaan 1001. Tehtävään on montakin erilaista ratkaisua, ehkä yksinkertaisimmin ymmärrettivissä on seuraavanlainen.

Ajatellaan, että kolikot asetetaan rinnakkain riviin ja niiden lisäksi neljä erotinta, jotka jakavat tuon kolikkorivin viidelle opiskelijalle. Jono voisi näyttää vaikkapa seuraavalta (o = kolikko | = erotin):

ooo | oo | ooo | o | o

Nyt oppilas A saisi 3 kolikkoa, B saisi 2, C 3, D 1 ja E 1 kolikon. Tuossa merkkijonossa on siis kaikkiaan 10 + 4 = 14 alkiota. Jos taas kaikki neljä erotinta olisivat merkkijonon lopussa, tarkoittaisi se sitä, että A saisi kaikki kolikot. Nyt jokainen erilainen erottimien sijoittelu antaa selvästi erilaisen kolikkojaon. Ja nyt lasketaan vain, kuinka monella tavalla 14 paikan joukosta voidaan valita 4:lle erottimelle paikka. Tämä voidaan tehdä

eri tavalla. Samaan lopputulokseen voidaan tulla monella muullakin eri tavalla.

Kombinatoriikan ongelma

Viiden eri oppilaan kesken jaetaan kymmenen identtistä kolikkoa. Kuinka monella tavalla jako voi päättyä kun kaikki kolikot jaetaan? Oleellista ei ole mitkä kolikot oppilas A saa vaan se, kuinka monta hän saa. Myös tilanne, jossa esim. oppilas B saa kaikki kolikot on mahdollinen.

Kenguru-kilpailusta

Koulussamme järjestettiin opiskelijoille mahdolisuus osallistua tuohon edellä jo esiteltyyn ( http://miekka.blogspot.com/search?updated-max=2009-02-08T23%3A18%3A00%2B02%3A00&max-results=7 )kansainväliseen Kenguru -matematiikkakilpailuun. Osanottajia oli tällä kertaa olemattoman mainontamme ja markkinoinnin vuoksi vain kymmenkunta, mutta uskon, että saadun innostuksen (ennenkaikkea opettajien!) myötä ensi vuonna liikkeellä on huomattavasti suurempi joukko.

Eniten meitä innostivat omista koulukurssiemme ja kokeittemme tehtävistä poikkeavat tehtävät ja niihin vastaamistyyli. Mietimme jopa seuraavalle vuodelle tehtävien suomentamista ja siihen avun tarjoamista valtakunnallisestikin. Varmaan kilpailuun olisi jostakin kautta saatavissa valtakunnallinen kunnon palkintokin, eikös tämä liity hienosti tuohon Opetushallituksen juuri julkistamaan "Lahjakkuutta ja erityisvahvuuksia tukevan opetuksen kehittäminen" -hankkeeseen!

Suosittelen lämpimästi kaikille asian harrastajille. Tuon yllä olevan linkin kautta pääset sivulle, jossa on linkkejä Kengurun sivuille.

Ensi vuonna tavataan Kengurussa!

YO-kirjoitukset

Taas on ollut taukoa kirjoittamisessa kun aika on kulunut ylioppilaskirjoitusten korjaamisen parissa. Pitkän matematiikan koe oli mielestäni onnistuneempi kuin viime keväänä, jolloin koe oli selvästi liian helppo. Nyt arvosanarajat pysyvät ehkä lähempänä tavoiteltua. Tehtävän 12 muotoilua olisin muuttanut niin, että olisin ensin pyytänyt yhtälölle täsmälleen yhden ratkaisun olemassaolon todistusta ja sitten tälle likiarvoa Newtonin menetelmällä. Nyt tuo olemassaolon todistus jäi joillakin opiskelijoilla aavistuksen verran ilmaan.

Koulussamme opiskelijoista 99 % kirjoitti matematiikan ja heistä 55 % kirjoitti pitkän matematiikan.

Piin päivä

Viime lauantaina juhlittiin taas monessa maailman kolkassa matemaatikkojen piirissä piin päivää. Päivä ajoittuu 14. maaliskuuta amerikkalaisen päivämäärän kirjoittamistavan mukaan: 3/14/ ... . Innokkaimmat ottavat vielä täsmällisemmin, seuraavat desimaalit poimitaan sitten tunteihin, minuutteihin ja sekunteihin 1.59.26. Onkohan Suomessa jossakin juhlittu merkkipäivää, en tiedä. Seuraavissa linkeissä joitakin asiaan littyviä juttuja, jopa laskuri seuraavaan vastaavaan juhlahetkeen.
http://math-blog.com/2009/03/14/happy-national-pi-day/
http://threesixty360.wordpress.com/2009/03/14/happy-pi-day-3/
http://letsplaymath.wordpress.com/2009/03/13/more-fun-with-pi/
http://www.piday.org/

Tietoja eilisen tutkimustehtävään

Tuossa 08. maaliskuuta tehtävässä "vuosi" on tulkittava joko vuosiluvun kahdeksi viimeiseksi numeroksi tai omaksi iäksi vuosina.

Näillä tiedoilla itse kukin saa hieman erilaisia vastauksia tehtävään. Vuosittain tarjolla on kaksitoista päivää, jolloin ehto voisi täyttyä, nimittäin

maaliskuussa

huhtikuussa

toukokuussa

kesäkuussa

heinäkuussa

elokuussa


syyskuussa

lokakuussa

ja joulukuussa

Tutkimustehtävä

Tutki, kuinka monena päivänä elämässäsi on totta "pythagoralainen" yhtälö

Mielenkiintoinen yhteys

Kun tiedät päättymättömän geometrisen sarjan perusteella, että

niin samalla tiedät välittömästi, että


Tämän voi perustella seuraavasti: Jos -1 < x < 1, ja


niin tällöin