Matematiikan historiassa 16. kesäkuuta

Vuonna 1799 kesäkuun 16. päivänä Gauss sai tohtorinarvonsa 22 vuoden ikäisenä väitöskirjasta, joka antoi ensimmäisen oikean todistuksen algebran peruslauseesta. Tavallisesti vaadittu suullinen tutkinta jätettiin pois.

Matematiikassa algebran peruslause sanoo, että jokaisella yhden muuttujan polynomilla p ( z ) , jonka asteluku n ≥ 1 ja jonka kertoimet ovat reaali- tai kompleksilukuja, on ainakin yksi nollakohta kompleksilukujen joukossa. Toisin sanoen kompleksilukujen kunta on algebrallisesti suljettu kunta, ja siten yhtälöllä p ( z ) = 0 on asteluvun mukainen määrä juuria. Juurista voi tosin olla joitakin keskenään samoja, joten juurten kertaluku täytyy ottaa huomioon juurten lukumäärää laskettaessa.

Kuva: doodlelearning.com

Vuonna 1902 kesäkuun 16. päivänä Bertrand Russel kirjoitti Gottlob Fregelle kertoen, että tämän teoksessa Grundgesetze der Arithmetik "on vain yksi kohta, jossa olen huomannut hankaluuden." tämä hankaluus oli ns. Russelin paradoksi.

Kuva: Wikipedia

Kesäkuun 22. päivänä Frege vastaa tyypillisellä tieteellisellä kohteliaisuudella että "löytösi ristiriidasta aiheutti minulle mitä suurimman yllätyksen ja, täytyypä melkein sanoa, ahdistuksen, koska sen on järisyttänyt perustaa, jolle aioin aritmetiikan rakentaa."

Fregestä kirjotin enemmän 6. tammikuuta

Kuva: Wikipedia

Russelin paradoksi voidaan määritellä seuraavasti: Oletetaan, että joukon M alkioita ovat kaikki sellaiset (normaalit) joukot, jotka eivät kuulu itseensä. Joukko A on siis joukon M alkio vain, jos joukko A ei ole itse oma alkionsa. Paradoksi seuraa kysymyksestä, kuuluuko joukko M tällöin yhtenä alkiona itseensä? Jos kuuluisi, niin ei tulisi M:n oman määritelmän perusteella kuulua; jos taas ei kuulu, niin silloin tulisi saman määritelmän mukaan kuulua.

Paradoksin idean voi esittää myös konkreettisena esimerkkinä, esimerkiksi kuuluisalla parturin paradoksilla: oletetaan, että kylän parturi ajaa parran niiltä ja vain niiltä kyläläisiltä, jotka eivät aja omaa partaansa. Ajaako hän tällöin oman partansa? Jos parturi ajaa oman partansa, hän ei aja omaa partaansa ja kääntäen.