Yksi syy siihen, että matematiikkaa arvostetaan erityisen paljon, on että sen lait ovat täysin varmoja ja kiistattomia, mutta muiden tieteiden on oltava tietyllä tavalla kyseenalaistettavissa ja jatkuvassa vaarassa tuhoutua uusien faktojen takia.
-Albert Einstein, Sidelights on Relativity, 1922
Tekstit
3 vuotta sitten
2 kommenttia:
Mitä mahtoi Albert miettiä todetessaan matematiikan laeista: "sen (matematiikan) lait ovat täysin varmoja ja kiistattomia"?
En ole koskaan tieteenfilosofiaa lukenut, mutta eikös matematiikkakin rakennu aksioomiensa varaan? Onko lait tällöin todella täysin kiistattomia ja varmoja? Käsittääkö matematiikan historia tapauksia, joissa kertaalleen todistettua lakia on jouduttu myöhemmin korjaamaan?
Itsekkään en matematiikan historiaa niin tarkkaan tunne, että tuohon pystyisin suoralta kädeltä varmasti vastaamaan, mutta tällä hetkellä ei tiedossani ole tuollaisia pätemättömiä, oikein suoritettuja todistuksia. Matematiikan maailman laajetessa tietysti vanhoihin lauseisiin on jouduttu kirjoittamaan täsmentäviä rajoituksia. Esimerkiksi jo kreikkalaisten tuntemaa paralleeliaksioomaa oli täydennettävä rajoittumisella tasoon, kun vaikkapa Riemannin geometria (pallon pinalla) tuli päivänvaloon.
Vähän samaa asiaa sivuten muistutan myös, että kaikkia matematiikan väitteitä ei välttämättä pystytä osoittamaan oikeiksi tai vääriksi. Esimerkiksi vaikkapa äärettömän yksinkertaisen tuntuinen Goldbachin hypoteesi on odottanut todistustaan vuodesta 1743 ei kukaan vielä tiedä voidaanko sitä todistaa oikeaksi tai vääräksi. Tämän matemaatikoille järkyttävän tilanteen osoitti Kurt Gödel vuonna 1931 (Gödelin epätäydellisyyslause). Tämä on syynä niihin paradokseihin, jotka saivat matemaatikot ongelmiin (esim Russelin paradoksi). Gödelin mukaan aksiomaattista järjestelmää ei voida todistaa ristiriidattomaksi sen omien aksioomien avulla. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, ettei matematiikkaa voida osoittaa ristiriidattomaksi matematiikan keinojen avulla. Tämä ei kuitenkaan tarkoita sitä, ettei järjestelmää voida osoittaa ristiriidattomaksi. Osoittaminen onnistuu, mutta sitä ei voida tehdä omista aksioomista lähtien.
Lähetä kommentti