Vuonna 1713 Nicolaus I Bernoulli kirjoitti Montmortille Baselissa 9. syyskuuta:
NELJÄS ONGELMA ON: A lupaa B:lle ecun jos tämä saa tavallisella nopalla ensimmäisellä heitolla kuutosen, kaksi ecua jos saa kuutosen vasta toisella heitolla, kolme ecua jos tämä saa kuutosen vasta kolmannella heitolla, 4 ecua jos vasta neljännellä heitolla ja niin edelleen. Kysytään, mikä on B:n saaman voiton odotusarvo?
VIIDES ONGELMA: Kysytään samaa asiaa jos A lupaakin kuutosesta edellisessä esimerkissä summat 1, 2, 4, 8, 16, jne. tai 1, 3, 9, 27, jen. tai 1, 4, 9, 16, jen. tai 1, 8, 27, 64, jne. summien 1, 2, 3, 4, ... sijaan?
Vaikka näistä useimmat eivät ole vaikeita ratkaista, huomaat kuitenkin jotakin omituista.
Näin siis Bernoulli vuonna 1713. Nicolaus I Bernoulli (21. lokakuuta 1687 Basel – 29. marraskuuta 1759 Basel) oli sveitsiläinen matemaatikko. Hän oli yksi monista Bernoulli-suvun matemaatikoista. Hän valmistui vuonna 1704 Baselin yliopistosta setänsä Jakob Bernoullin ohjauksessa ja sai filosofian tohtorin arvon viisi vuotta myöhemmin. Vuonna 1716 hänet kutsuttiin hoitamaan Galileo-professuuria Padovan yliopistoon, jossa hän työskenteli differentiaaliyhtälön ja geometrian parissa. Vuonna 1722 hän palasi Sveitsiin ja otti vastaan logiikan professuurin Baselin yliopistossa.
Bernoulli esittelee tärkeimmät saavutuksensa kirjeissään, erityisesti kirjeissään Pierre Rémond de Montmortille, kuten ylläoleva lainauskin. Hän oli yhteydessä myös Gottfried Leibniziin ja Leonhard Euleriin.
Arvellaan, että yllä oleva neljäs ongelma johti Bernoullin ns. Pietarin paradoksin esittämiseen.
Entä mikä onkaan odotettavissa oleva voittosumma esimerkin ensimmäisessä tapauksessa? Lasketaan voiton odotusarvo:
Kyseinen sarja suppenee, koska
eli summan kahden peräkkäisen termin osamäärän raja-arvo lähestyy lukua, joka on pienempi kuin yksi.
Lopputuloksen kävin laskemassa WolframAlphalla:
Voiton odotusarvo on siis kuusi ecua.
Tuosta Pietarin paradoksista kirjoitan joskus toisella kertaa.
Kuva: Wikipedia
Tekstit
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti