Omien muistiinpanojensa mukaan saksalainen matemaatikko Richard Dedekind sai marraskuun 24. päivänä vuonna 1858 idean irrationaalilukujen määrittelemiseen rationaalilukujen avulla. Puhutaan Dedekindin leikkauksesta.
Tämä liittyy itseasiassa reaalilukujen joukon määrittelemiseen. Reaalilukujen joukko voidaan havainnollisesti ajatella syntyvän vaiheittain lukusuoraan täydentämällä:
Ensin Luonnolliset luvut N (0, 1, 2, 3, ...),
lisätään joukkoon negatiiviset kokonaisluvut ja saadaan kokonaislukujen joukko Z,
lisätään edellen mukaan murtoluvut ja näin saadaan rationaalilukujen joukko Q (luvut, jotka voidaan esittää kahden kokonaisluvun osamääränä)
ja lopuksi lisätään mukaan irrationaaliluvut ja saadaan reaalilukujen joukko R.
Ja tuohon viimeiseeen vaiheeseen tarvitaan tuo Dedekindin leikkaus. Sitä voidaan kuvata seuraavasti: Dedekindin leikkaus on sellainen kokonaan järjestetyn joukon jako kahteen epätyhjään joukkoon A ja B, että A:n jokainen alkio on pienempi kuin B:n jokainen alkio eikä joukossa A ole suurinta alkiota (joukossa B VOI olla pienin alkio). Seuraavassa esimerkki:
Lukujen "löytämisen" aikajärjestyksen kuvittelee helposti etenevän tuon listan mukaisesti, mutta järjestys on toinen: N tunnettiin jo (nollaa vaille) ammoisina aikoina kivikaudella, Q oli käytössä jo esimerkiksi kreikkalaisilla matemaatikoilla ennen ajanlaskumme alkua, negatiiviset luvut käytössä Intiassa noin vuona 500 j.Kr, Euroopassa vasta lähes tuhat vuotta myöhemmin, ja R saatiin määriteltyä täsmällisesti vasta 1800-luvulla.
Kun muistelin sitä milloin itse ensimmäisen kerran kuulin puhuttava Dedekindin leikkauksesta, ajatukset palasivat syyskuuhun 1972 ja professori Keijo Väänäsen Analyysi I:n luennolle. Muistikuva oli hämärä ja siksi piti kaivaa vanhat luennot esille. Ei ollut hänen luentomuistiinpanoissaan tästä mainintaa mutta Watson Fulksin Calculus, johon hän viittasi, kertoi asiasta (sivulla 11), mielestäni kylläkin hieman epätarkasti. Sen mukaan tuo joukon jakopiste kuuluu joko joukkoon A tai B, mutta esimerkiksi ylle ottamassani esimerkissä tuo kakkosen neliöjuuri ei ole kummankaan joukon jäsen!
Muuten, tuon Dedekindin leikkauksen hän keksi kun valmisteli ensimmäisiä differentiaali- ja integraalilaskennan luentojaan Zurichin teknillisessä korkeakoulussa, jonka opettajaksi hän oli juuri tullut nimitetyksi vain 27-vuotiaana. Perusteellista valmistautumista!
Kuva: Wikipedia
Tekstit
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti